《1.5.1 二项式定理》 导学案

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1、《1.5.1二项式定理》导学案学习目标1.理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.3.培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨.重点理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.难点会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.教学过程先看下面的问题:二项式定理研究的是(a+b)n的展开式，如:(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=？，(a+b)4=？，(a+b)100=？，那么(a+b)n的展开式是什么？这就是本节课我们将要学习的内容.问题1:(1)二项式定理

2、:(a+b)n= an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn　(n∈N+). (2)+++…++=　2n　(n∈N+). 问题2:二项展开式的通项和二项式系数在二项式定理中，右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，展开式的第r+1项为　Tr+1=an-rbr　(r=0，1，2…n)，其中的系数(r=0，1，2…n)叫作　二项式系数　. 问题3:使用二项展开式的通项要注意的问题①通项Tr+1是第　r+1　项，不是第r项； ②通项Tr+1的作用:处理与　指定项　、　特定项　、　常数项　、　有理项　等有关的问题. ③二项展开式中二项式系数与展开项的系数是不同的概念.如:(a+2b)

3、3=a3+a2·(2b)+a·(2b)2+(2b)3=a3+6a2b+12ab2+8b3，第三项的二项式系数为 =3　，第三项的系数为　12　. 问题4:使用二项式定理需要注意的问题二项式定理展开式中的a和b的位置不能颠倒，且包括a，b前面的　符号　，而且a的次数逐渐　降低　，b的次数逐渐　升高　，每一项的次数都为　n　. 牛顿与二项式定理牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，他还是一位伟大的数学家.二项式定理就是他数学生涯中的重大成果之一.1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，引发了许多思考，牛顿思考的是“一般情形下，当n∈N+时

4、，(a+b)n等于多少”这样一个问题.经过认真思索、推算，得出了我们现在的二项式定理.学习交流1.(+)6的展开式的第3项是(　　).A.15　　　　B.20　C.15　　　　D.20【解析】T3=()4()2=15，故选C.【答案】C2.(x-y)10的展开式中第5项的系数是(　　).A.840　B.-840　C.210　D.-210【解析】在通项公式Tr+1=(-y)rx10-r中令r=4，即得(x-y)10的展开式中x6y4项的系数为(-)4=840，故选A.【答案】A3.(+)10的展开式中第四项为　　　　. 【解析】T4=()7()3=120.【答案】1204.已知(+2x)n

5、的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中的第5项的系数.【解析】由++=37得1+n+n(n-1)=37，得n=8.又∵T5=(2x)4=x4，∴该项的系数为.5.二项式定理的展开式求(4a-b)5的展开式.【方法指导】4a和-b分别是二项式定理中a，b的值，代入展开式中整理即可.【解析】(4a-b)5=(4a)5+(4a)4(-b)1+(4a)3(-b)2+(4a)2(-b)3+(4a)1(-b)4+(-b)5=(4a)5-×(4a)4b+×(4a)3b2-×(4a)2b3+×4ab4-b5=1024a5-640a4b+160a3b2-20a2b3+ab4-b5.【小结】熟

6、练掌握二项式定理，弄清展开式中a，b的值分别是什么，包括前面的符号.6.求二项展开式的某项的系数(x-)8展开式中x5的系数为　　　　. 【方法指导】可先求出展开式的通项，在通项中令x的指数为5，求出r的值，从而求出x5的系数.【解析】通项公式Tr+1=x8-r(-)r=(-1)r，由题意得8-r=5，则r=2，故所求x5的系数为(-1)2=28.【答案】28【小结】常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数.7.求二项展开式的项(+)24的展开式中的整数项是(　　).A.第12项　　B.第13项　　C.第14项　　D.第15项【方法指导】利用二项展开式的通项公式求解.【解析】

7、Tr+1=()24-r()r=××，经检验，r=14，即第14项为整数项.[问题]上述解法有错误吗？[结论]通项公式中的项数是第r+1项，而不是第r项.故第15项为整数项.【答案】D【小结】注意二项展开式的通项公式中Tr+1=an-rbr是展开式中的第r+1项，而不是第r项.例题应用求(2x-)5的展开式.【解析】(2x-)5=(2x)5+(2x)4(-)1+(2x)3(-)2+(2x)2(-)3+(2x)1(-)4+(-)5=32