1.5.1二项式定理

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1、二项式定理练习题及答案解析一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)A．2n　　B．2n＋1　　C．2n－1　　D．2(n＋1)[答案]　B2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是(　　)A．CrnB．Cr＋1nC．Cr－1nD．(－1)r－1Cr－1n[答案]　D3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是(　　)A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410[答案]　D[解析]　∵Tr＋1＝Cr10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2010•全国Ⅰ理，5)(

2、1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是(　　)A．－4B．－2C．2D．4[答案]　C[解析]　(1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12xC05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在2x3＋1x2n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是(　　)A．3B．5C．8D．10[答案]　B[解析]　Tr＋1＝Crn(2x3)n－r1x2r＝2n－r•Crnx3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.∴n的最小值为

3、5.6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　　)A．－297B．－252C．297D．207[答案]　D[解析]　x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.7．(2009•北京)在x2－1xn的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是(　　)A．3B．4C．5D．6[答案]　D[解析]　通项Tr＋1＝Cr10(x2)n－r(－1x)r＝(－1)rCrnx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且Crn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.8．(2010•陕西理，4)(x＋ax)5(x∈R)

4、展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)A．－1B.12C．1D．2[答案]　D[解析]　Cr5•xr(ax)5－r＝Cr5•a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，由C45•a＝10，得a＝2.9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)A.112＜x＜15B.16＜x＜15C.112＜x＜23D.16＜x＜25[答案]　A[解析]　由T2>T1T2>T3得C162x>1C162x>C26(2x)2∴112＜x＜15.10．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)A．4项B．5项C．6项D．7项

5、[答案]　A[解析]　Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r•(32)20－rCr20•x20－r，∵系数为有理数，∴(2)r与220－r3均为有理数，∴r能被2整除，且20－r能被3整除，故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.二、填空题11．(1＋x＋x2)•(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．[答案]　－16212．(1＋x)2(1－x)5的展开式中x3的系数为________．[答案]　5[解析]　解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3•(1－x2)2＝(1－x)3

6、(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)•C13(－1)＝5；解法二：C35(－1)3＋C12•C25(－1)2＋C22C15(－1)＝5.13．若x2＋1ax6的二项展开式中x3的系数为52，则a＝________(用数字作答)．[答案]　2[解析]　C36(x2)3•1ax3＝20a3x3＝52x3，∴a＝2.14．(2010•辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为________．[答案]　－5[解析]　(1＋x＋x2)x－1x6＝x－1x6＋xx－1x6＋x2x－1x6，∴要找出x－1x6中的常数项，1x项的系数

7、，1x2项的系数，Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)rx－r＝Cr6(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，∴r＝3，令6－2r＝－1，无解．令6－2r＝－2，∴r＝4.∴常数项为－C36＋C46＝－5.三、解答题15．求二项式(a＋2b)4的展开式．[解析]　根据二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbnn得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋

8、x)n展开式中x的系数为