《3.1.2 函数的极值》同步练习

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1、《3.1.2函数的极值》同步练习1．下列说法正确的是(　　)．A．若f(x)≥f(x0)，则f(x0)为f(x)的极小值B．若f(x)≤f(x0)，是f(x0)为f(x)的极大值C．若f(x0)为f(x)的极大值，则f(x)≤f(x0)D．以上都不对答案　D2．已知函数f(x)在(a，b)上可导，且x0∈(a，b)，以下结论中，正确的是(　　)．A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)

2、是极小值D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值解析　由极值点和极值的定义可知，B正确，C、D不正确．导数为零的点不一定是极值点，故A不正确．答案　B3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图，则f(x)是(　　)．A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．在两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解析　设f′(x)与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时

3、，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．答案　C4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.解析　因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.①又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②由①②解得a＝1，b＝－3.答案　1　－35．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f(x

4、)在区间(－1，1)上无单调性；③函数f(x)在x＝－处取得极大值；④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．解析　从图像上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1，1)上是减函数，②错误，③也错误；当0＜x＜1时，f(x)在区间(0，1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．答案　①④6．求下列函数的极

5、值：(1)f(x)＝－2；(2)f(x)＝x2ex.解　(1)函数的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)31·由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1；(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(2＋x)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)

6、的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)·4e－2·0由上表可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝4e－2.当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.7．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　)．A．00D．b<解析　f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0，1)内有极小值，则即解得00，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则

7、ab的最大值等于(　　)．A．2B．3C．6D．9解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.答案　D9．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________.解析　y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由韦达定理可求得a＝－3，b＝－9.经

8、检验，符合题意.答案　－3　－910．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．解析　f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0，解得c＝2或c＝6.当c＝2时，