一类Hermitian鞍点矩阵的特征值估计

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1、2015年2月计算数学第37卷第1期Feb．，2015MATHEMATICANUMERICASINICAVo1．37．No．1一类Hermitian鞍点矩阵的特征值估计木1)黄娜马昌凤)(福建师范大学数学与计算机科学学院，福州350117)谢亚君(福建江夏学院数理系，福州350108)摘要本文研究了一类大型稀疏Hermitian鞍点线性系统A三()(X)=(9f-b系数矩阵的特征值，其中B∈C是Hermitian正定阵矩阵，E∈C是列降秩．本文分别给出了该系数矩阵正特征值与负特征值界的一个估计式，同时通过数值

2、算例验证本文所给出的特征值界的估计是合理且有效的．关键词：鞍点问题；Hermitian矩阵；奇异；特征值估计MR(2000)主题分类：65F10，15A241．引言考虑大型稀疏Hermitian鞍点线性代数方程组：兰()()=()三6，c．，其中B∈P是Hermitian矩阵，E∈Cpq列降秩，A∈C，且n=P+q，=(，Y)∈C，b=(f，l9)∈C，及X，f∈C，Y，g∈c。．形如(1．1)的线性代数方程组广泛应用于如混合有限元近似二阶椭圆问题、计算流体力学、最小二乘问题、地球物理数据的反演、半导体器件方

3、程、弹性问题或斯托克斯方程等一系列科学与工程计算领域中．对于求解线性方程组(1．1)，现已存在许多各种有效的迭代法，譬如：Uzawa型迭代格式、投影迭代法、零空间迭代法、分裂法、类超松弛迭代法等等．为了能够快速有效地通过Krylov子空间法求解问题(1．1)，往往需要借助预条件子将方程(1．1)进行等价变换，使得预处理之后的方程组的系数矩阵的特征值有好的性质，比如：特征值比较聚集或者特征值的实部均是正数．为了构造出高质量的预条件子，必须知道问题(1．1)系数矩阵A∈c的特征值的界[卜引．近几年，也有许多学者致

4、力于方程(1．1)系数矩阵特征值界的估计的研究[1．6-]．在文献『9]中，白中治等人估计了当B∈cp是Hermitian正定，A∈C”是非奇异时，矩阵A的特征值的界．在2013年，白中治研究了当B∈P是2014年4月13日收到．)国家自然科学基金(11071041，11201074)资助项目；福建省自然科学基金(2013J01037)资助项目)通讯作者：马昌凤，Email：macf@fjnu．edu．cn1期黄娜等：Hermitian鞍点矩阵的特征值估计93Hermitian不定矩阵且A∈CnX非奇异时，矩

5、阵的特征值的界[11]．在文献中[11]，白中治通过将矩阵B分成非奇异与奇异两类进行讨论．当矩阵B奇异时，白中治借助矩阵目的零空间及相空间进行研究．即，令矩阵Ⅳ6与的列向量分别构成矩阵B零空间与相空间的一组正交基，令U：＼0Ⅳ060』／1，则《R~BRb0UAU：1＼00ERbEⅣ6由于R~,BRb是非奇异的，从而可以利用B是非奇异时所给出的结论进行估计．但是，矩阵B的零空间的一组基并不容易得到．受前述工作的启发，本文给出当矩阵B是Hermitian正定阵且矩阵E是列降秩时，系数矩阵的特征值界的估计，分别给出

6、了该系数矩阵正特征值与负特征值界的一个估计式，同时通过数值算例验证本文所给出的特征Rb值Ⅳ界b的0估计是合理且有效的．为方便起见，本文用日>0E(HE0)表示日是Hermitian正定阵(Hermitian半正定、、●●／阵)，用H<0(H0)表示日是Hermitian负定阵(Hermitian半负定阵)．自然有H>K(HK)表示H—K>0(H—K0)，以及H

7、表示矩阵日的谱以及秩．或者表示单位矩阵(下标表示阶数)．右上角和分别表示矩阵的逆和共轭转置以及用I表示向量或者矩阵或向量的2一范数．c表示集合C中所有秩为矩阵的集合．2．特征值界的估计本节给出矩阵的特征值界的估计．首先，先给出如下两个引理弓I理1．1。]设H=H∈C”，贝Ⅱx(日)=，引理2．[11J设矩阵G∈C”是如下形式的块下三角阵G=(；)其中n=P+q，G21∈Cq，且G21的最大奇异值为叩，则sp(GG)=sp(GG)[1+(叩一、／干)，1+罟(叩+、／干)]．引理3．[13](Courant—F

8、ischer定理)设=A∈C，A122⋯之h是A的特征信，则94计算数学2015住(1)minmaxAx：t，i=1，2，·一，n日∈cnx(n+-)xR—llEl(H)zll：1maxminXAx={，i=1，2，。一，n；日∈cz∈R(H)lzII=1为了估计矩阵的特征值的界，在此先给出矩阵A=BEJEcJ，特征值的界，其中C∈cqq是Hermitian阵．定理1．设矩阵B∈cpx口，C∈cq是