07-08学年几何与代数B(I)试卷B答案

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1、北京交通大学2007-2008学年第一学期《几何与代数（B）I》期末考试试卷(B)答案及评分标准一．（本题满分30分，每小题3分）请把答案填在空中．1.已知。若在上的投影为.则k=3.2.行列式的所有元素代数余子式之和是50..3．若向量，，共面，则=3.4.由曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是5．已知向量组线性相关，则3.6．设为阶方阵，的行列式为的伴随矩阵，是的逆矩阵，则7.设向量组线性无关，向量可由线性表出，而向量第9页共9页不能由线性表示，则必线性（相）关，必线性（无）关。8.通过点且与平面垂直的直线方程是9.设A是3阶方阵，且。则120.1

2、0.已知三阶方阵。则的伴随矩阵0.二.(10分)计算阶行列式解第9页共9页....5分....10分三．（12分）当为何值时，线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。解将方程组的增广矩阵化为阶梯形：第9页共9页……4分（1）当时，方程组有唯一解。....6分（2）当时，方程组无解；....8分（ii）当时，方程组的增广矩阵可化为此时方程组有无穷多解，一个特解是，....9分导出组的基础解系是....11分此时方程组的通解是。....12分四．（10分）求过点，且垂直于平面的平面方程。解已知

3、平面的法向量，与向量不平行。...3分由点位式知所求平面方程第9页共9页...6分即。...10分五．（12分）设。求满足的矩阵，其中是的逆矩阵。解由知又可逆，故。....5分又....10分故....12分六.（13分）已知三元二次型第9页共9页（1）用正交变换化二次型为标准形，并写出相应的正交矩阵；（2）指出方程表示何种二次曲面。解（1）二次型矩阵为特征多项式解得特征值为….4分对应特征值解得2个线性无关的特征向量….7分将它们正交化得对应特征值解得特征向量将单位化得第9页共9页…8分作矩阵…9分则是正交矩阵。经正交变换，可将二次型化为…11分（

4、2）可化为它是一个椭球面。……13分七.（8分）取何值时，三元实二次型是正定二次型？解二次型矩阵为第9页共9页……2分二次型正定当且仅当它的矩阵的各阶顺序主子式大于0。即……5分解得……8分八.证明题（两题任选一题）（5分）（1）设是阶方阵，是阶单位矩阵。若都可逆。证明也可逆。（2）设是阶单位矩阵，是阶方阵，且。证明秩+秩=。证明（1）由，由都可逆,知也可逆。……5分(2)因为，所以。于是秩+秩。……4分第9页共9页又，所以=秩秩+秩=秩+秩。又秩=秩,秩=秩，故秩+秩=。…….5分第9页共9页