线代 09-10几何与代数B试卷B答案_6228_1775_20101204091432.doc

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1、北京交通大学2009-2010学年第一学期《几何与代数B》期末考试试卷（B）参考答案及评分标准一．填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分）1．设，则____1，-1_______________．2．已知向量满足，则的夹角是.3．设矩阵，且，则__0___，____1___．4．已知实二次型为是正定的，则常数的取值范围是___t>3________________．5．若向量组的秩是2，则=_0___．6．若向量组的秩为3，且满足，则的一个最大无关组为_____________________．或或或或或7．若方程组无解，则

2、的值为______-2_______．第7页共7页8.直线与直线相交，则的值为__-1____。9.设3阶方阵A的特征值为，则矩阵的特征值为。10.由平面上曲线围绕轴旋转一周所成曲面的方程是二.(10分)计算5阶行列式。解………2分第7页共7页………5分………10分三.(10分)求过直线且与球面相切的平面方程。解过直线的平面束方程为………3分因为原点到该平面的距离是1，所以………5分解得或。………8分所求平面方程为或。………10分四.(10分)已知（1）为何值时，不能被线性表出？（2）为何值时，可由线性表出且表法不唯一；此时写出由线性表

3、出的一般表达式。第7页共7页解原问题转化为讨论增广矩阵为的方程组（*）的解的情况………4分（1）当时，（*）无解，故不能被线性表出，即或时，不能被线性表出………6分（2）当时，（*）有无穷多解，故能被线性表出且表法不唯一，即或时，能被线性表出且表法不唯一，………7分此时（*）的一般解为………9分表达式为其中任取………10分第7页共7页五(10分)设3阶矩阵（1）问为何值时，相似于对角阵？（2）当相似于对角阵时，求可逆矩阵,使为对角形。解(1)相似于对角阵当且仅当秩所以k=0.………4分(2)对应特征值的两个线性无关向量-------7分

4、对应特征值的特征向量………9分令，则………10分六.(12分)已知三阶实对称矩阵有特征值0（二重）和2。若是的属于特征值0的特征向量。（1）求正交矩阵,使为对角形；(2)求矩阵解（1）第7页共7页由于属于不同特征值的特征向量是正交的，所以属于特征值2的特征向量是下方程组的非零解：解得………4分将正交化单位化得………7分令则………9分（2）………12分七.(12分)设是阶方阵，且其中是3阶单位矩阵。（1）证明可逆；（2）若,求矩阵第7页共7页解（1）由得到故可逆------4分(2)，------7分,-------------11分故-

5、-----------12分八.(6分)设是阶正定矩阵，证明存在正定矩阵,使得证因为是阶正定矩阵，所以存在正交矩阵，使得其中-----------3分令------------5分则B正定，且------------6分第7页共7页