数列的概念及简单表示法

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1、第1讲数列的概念及简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.1．数列的定义按照排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类一定顺序分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数,无穷数列项数,按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使

2、an

3、≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…有限无限3.数列的表示

4、法数列有三种表示法，它们分别是、和．4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．列表法图象法解析法an＝f(n)联动思考想一想：数列可以看成一个以n为自变量的函数，则其定义域是什么？答案：其定义域为正整数N*或其有限子集{1,2，…，n}．议一议：数列的通项公式唯一吗？举例说明．答案：不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝.答案：C答案：A3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1

5、＝2，a2＝5，则a6的值是()A．－3B．－11C．－5D．19解析：a3＝a2－a1＝5－2＝3a4＝a3－a2＝3－5＝－2a5＝a4－a3＝－2－3＝－5a6＝a5－a4＝－5＋2＝－3.答案：A4．(2010·安徽卷)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：a8＝S8－S7＝82－72＝(8＋7)(8－7)＝15.答案：A5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan

6、}中数值最小的项是第________项．解析：当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2且n∈N*，故n＝3时，nan最小．答案：2n－113考向一　由数列的前几项写数列的通项公式【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，反思感悟：善于总结，养成习惯根据数列

7、的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．答案：D考向二　由数列的递推关系求通项公式【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an.累乘可得：an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.反思感悟：善于总结，养成习惯已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y

8、时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．迁移发散2．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝；(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1；(4)在数列{an}中，a1＝8，a2＝2，且满足an＋2－4an＋1＋3an＝0.解：(1)由已知an＞0，在递推关系式两边取对数．有lgan＋1＝2lgan＋lg3，令bn＝lgan，则bn＋1

9、＝2bn＋lg3，∴bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，∴{bn＋lg3}是等比数列，∴bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3，∴bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan∴an＝32n－1.(3)由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列，∴an－n＝(a1－1)4n－1，∴an＝4n－1＋n.(4)将an＋2－4an＋1＋3an＝0变形为an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，则数列{

10、an＋1－an}是以a2－a1＝－6为首项，3为公比的等比数列，则an＋1－an＝－6·3n－1，利用累加法可得an＝11－3n.考向三　由数列的Sn与an的关系求通项公式【例3】(2010·临沂调研)已知数列的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式．解：∵log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)