9.2 正项级数的审敛法

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1、9.2正项级数及其审敛法9.2.1正项级数的概念1.定义:如果级数un中各项均有un0，n1这种级数称为正项级数.2.正项级数性质:sss12n部分和数列{sn}为单调增加数列.定理9.1正项级数收敛部分和所成的数列s有界.n9.2.2正项级数的审敛法定理9.2比较审敛法设un和vn均为正项级数，且unvn,n1n1（1）若vn收敛,则un收敛；n1n1（2）若un发散，则vn发散.n1n1弱级数强级数强级数收敛，则弱级数也收敛；弱级数发散，则强级数发散.证明)1(设vnunvn,n1且snu1u2u

2、nv1v2vn,即部分和数列有界un收敛.n1（2）是（1）的逆否命题推论:若un收敛(或发散)且vknnu(或n1uknnv),则vn收敛(或发散).n1比较审敛法的不便:须有参考级数.例1讨论P-级数11111的收敛性.(p)0pppp234n11解若p,1,则P级数发散.pnny1ndx若p,1由图,当n2时，p1pnn1x1111y(p)1s1pnpppx23n2dxndx1ox1xpn1xp1234ndx11111()1xpp1p1n1当p1时,收敛;

3、1故，P级数p1当p1时,发散.即s有界,则P级数收敛.n三大参考级数几何级数n2n当q1时,收敛q1qq...q...等比级数n0当q1时,发散1111调和级数1n23ni111111P-级数p1ppppi1n234n当p1时,收敛;P级数当p1时,发散.二种简单思路1)1(un,则un发散;nn11)2(unp(p,)1则un收敛.nn11例2证明级数是发散的.n1n(n)111证明,n(n)1n11而级数发散,n1n11级数发散.n

4、1n(n)11例3判断级数n的敛散性.n13111证明,nn13131而级数n1收敛,n131级数n收敛.n131定理9.3比较审敛法的极限形式:un设un与vn都是正项级数,如果liml,nvn1n1n则(1)当0l时,二级数有相同的敛散性;(2)当l0时，若vn收敛,则un收敛;n1n1(3)当l时,若vn发散,则un发散;n1n1unl证明)1(由liml对于,0nv2nlullnlN,当nN时,2v2nl3l即vuv(nN)nnn22由比较审敛法的推论,得证

5、.1例4.判别级数sin的敛散性.n1n1解:sin1nlimlimn111n1nnsin~nnn根据比较审敛法的极限形式知1sin发散.nn11例5.判别级数ln1的敛散性.2n1n1ln(11)～1解:ln1n2n221n2limlimn1n1nn22n根据比较审敛法的极限形式知1ln1收敛.2n1n定理9.4比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：un1设un是正项级数,如果lim(数或)nun1n则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.证明当为有限数时,对

6、,0un1N,当nN时,有,unun1(nN)即un当1时,取1,使r,12uru,ururu,,N2N1N3N2N1urm1u,m1NmN1而级数ruN1收敛,m1uNmun收敛,收敛m1nN1当1时,取,1使r,1当nN时,uruu,limu.0发散n1nnnn比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:1.当1时比值审敛法失效;1例级数发散,nn1()11级数收敛,2n1n2.条件是充分的,而非必要.n2(

7、)13例uv,nnnn22n2()1级数unn收敛,n1n12n11u2(1)n1但a,lima,nn2nu2(2(1))n6n3ulima,limn1lima不存在.21nnn2nunn例6判别下列级数的收敛性:1n!1(1);(2)n;(3).n1n!n110n12(n)12n1un1(n1)!1解)1(0(n),u1