KP和广义HS耦合KdV方程的精确解

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1、郑州大学硕士学位论文KP和广义H-S耦合KdV方程的精确解姓名：朱晓明申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：李雪梅20070401摘要孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，是非线性科学发展的一个重要方向．现在已有许多成熟的求得非线性方程精确解的方法，达布变换和Hirota双线性就是两种十分有效获取孤子方程精确解的方法．本文从以下两个方面进行对孤子方程精确解的探讨；一是依据达布变换的理论，构造2×2谱问题屯=u垂％=Ⅵ垂吼=％圣及其相应(2+1)维KP方程；COt=；酊1”鲫+(矗％。一；”2)z的达布变换，且进行了严格的证明．并通过变换w(x，Ⅳ，t)=(口(毛”，t))3+

2、r1得到KP方程的精确解．然后以“=0，口≠0作为种子解，利用此达布变换得到(2+1)维KP孤子方程的多孤子解．并讨论了N=1，N=2时的简单情况，最后适当选择参数做出了单孤子的图像．二是运用Hirota方法，给出广义Hirota—Satsuma耦合KdV方程lut=§(“—。一6uuz)+3(vw)zk三：的双线性变换u=一(1nf)。”=孚，”=々，将孤子方程化为双线性形式l(；珑一DzDt)f·，=39h{(Dt+D3)g．，=0(0．1)l(Dt+D3)h·，=0并用摄动法求出了孤子方程的N一孤子解，最后作出了单孤子解的图形．关键词；KP方程；广义Hirota-Satsuma耦合Kd

3、V方程；达布变换；Hirota方法；精确解Abstract傺14烈锄，lco．z，KeyWbrdg—KPequation；GeneralizationoftheHirota-SatsumaCoupledKdVsoUtonequations；Darbouxtransformation；Hirotamethod；Exactsolution§1目I言非线性演化方程的求解是在理论与实践中都很重要的研究课题．精确解，特别是行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等．但由于非线性方程的复杂性，至今仍有大量的方程无法求出精确解．孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它反映了一类非常稳定的自然现象，

4、如江河中某一类水波，光纤中光信号的传播，等离子体中的磁流体流动波等．在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量子场论等诸多学科中孤立子理论都起着重要的作用．人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念，一般说，任何空间中传播的扰动，都称为波．在传播中不改变形状，大小和方向的波称为孤波。两个孤波经过相互作用仍不改变形状，大小和方向，称为孤立子(简称孤波)．孤立波具有非常奇特的性质，它们在相互作用时保持稳定的波形，这种颇类似于粒子性质的波在自然界中具有一定的普遍性．早在1834年，英国科学家Sott．Russel就发现了孤子水波【34，35】．直到1895年，荷兰著名数学家Korteweg

5、和他的学生deVries研究了浅水波运动，得到了著名的KdV方程，从而在理论上证实了孤立波的存在性【36】．许多科学领域如流体力学、等离子体物理、非线性光学、聚态物理、超导物理、经典场论和量子场论等都包含着和孤立子理论密切相关的问题，利用孤立子理论已经成功的解释了物理上长期用经典理论未能得到解答的现象．在应用上，如利用孤立波来改进信号传输系统，提高传输率等也取得了可喜的进展．另一方面，随着孤立子物理问题的研究，孤立子的数学理论也应运而生，为非线性偏微分方程及非线性科学的研究注入了新的活力，形成了比较完善的理论体系．目前，在孤立子理论中，已有一系列方法用来求解非线性偏微分方程的精确解，如反散射

6、方法【1，3，6，24】、Bficklund变换[5，7，9，25，21】、达布变换方法(DT)[1l，16，19，27]，Hiroda双线性方法【8，6，3

7、7】、Painlev6分析方法【12，13】、Lie对称方法【10，14，15】以及代数几何方法【17，18，23，26】，非线性化方法【20，23】、齐次平衡法【2，22】等．这些方法涉及到经典分析和泛函分析、微分方程和动力系统，Lie群、Lie代数和无穷维代数、微分几何，拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支．它们的发现和使用，不但使过去难以求解的非线性偏微分方程得以成功的求解，而且不断的发现许多非线性方程的有

8、重要意义的新解．特别是近年来，随着计算机的发展和符号运算如Maple的Mathematics出现，使复杂冗长的代数运算可以在计算机上完成，为孤立子方程的求解提供了更有力的工具．1达布变换方法是求解非线性方程显式解的十分有效的方法之一．通常从一个平凡解出发，首次达布变换和连续作达布变换可以分别得到方程的单孤子解和多孤子解，它最初来源于一个世纪以前达布所提供的处理二阶常微分方程(SchrSdinger方程)谱问题