Hardy空间的等价刻画

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1、第17卷第1期数学研究与评论Vol.17No.11997年2月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONFeb.1997XHardy空间的等价刻画周广才郑维行(东南大学数力系,南京210018)(南京大学数学系,210093)摘　要　设G为局部域K上的2n+1维Heisenberg群.本文证明了通过各种极大函数定义的Hardy空间的等价性,给出了Hardy空间的原子分解.利用这些等价定义及一些卷积算子定理,给出了Hardy空间的平方函数刻画——Luzin面积函数刻画与Littlewood

2、2Paley平方函数刻画.关键词　Heisenberg群,局部域,Hardy空间.分类号　AMS(1991)43A15,43A80öCCLO174.22§1　预备知识nn2n设K为局部域,HK为2n+1维K上的Heisenberg群.作为一个流形,HK=K×K.对(ti,nnnqi,pi)∈HK,ti∈K,qi,pi∈K,i=1,2,HK上的乘法定义为(t1,q1,p1)õ(t2,q2,p2)=(t1+t2+p1q2,q1+q2,p1+p2).n为简便起见,把HK记为G.G上的一个非Archimedes范ûõûH定义为12û(t

3、,q,p)ûH=max{ûtû,ûqû,ûpû},n其中ûõû为K或K上的非Archimedes范.把ûõûH简记为ûõû,根据作用元素的不同很容易区32别它们.对K∈K=Kø{0},伸缩映射DK定义为DK(t,q,p)=(Kt,Kq,Kp).对x,y∈G,x至y-1123的距离定义为ûxyû.现在定义G中的球.对k∈Zö2={0,±,±,±,⋯},定义222-k-1O=O0={u∈G:ûuû≤1},Ok={u∈G:ûuû≤C},xOk={u∈G:xu∈Ok},2n+1其中C为一素数幂.由于K上的Lebesgue测度为G上的Ha

4、ar测度,对k∈Z,O和1的kOk+2测度分别为1-(k+1)2n-2(k+)-k(2n+2)2ûOû=C,û1û=C.kOk+22n+2由于ûDKOkû=ûKûûOkû,我们称Q=2n+2为G的齐性维数.一个类似于局部域的重要性质为:G中的两球要么分离要么其中一个包含另一个.类似于局部域情形,G上的检验函数定义为S(G)={U:suppU为紧的,U在某子群O-s的左右陪集上为常数}.S(G)上的拓扑可类似定义.S′(G)为S(G)上连续线性泛函张成的空间并X1994年4月19日收到.—105—©1995-2005Tsinghu

5、aTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.赋予弱3拓扑.我们称S′(G)为分布空间.§2　极大函数定义的Hardy空间3-Q-QxA设t,A∈K,f∈S′,U∈S,Ut(x)=ûtûU(D1x)≡ûtûU(),非切向极大函数MUf与径tt0向极大函数MUf定义为A0MUf(x)=supûf3Ut(x)û,MUf(x)=supûf3Ut(x)û.û-13xyû≤ûAtût∈KA0命题2.1MUf和MUf为下半连续函数,因而为可测函数.如果A为一适当的检验函数的集合,则总非切向极大函

6、数与总径向极大函数定义为AA00MAf=supMUf,MAf=supMUf.U∈AU∈A常规的方法可以证明定理2.2对K>Q=2n+2,令-KAK={U∈S:ûU(x)û≤max{1,ûxû}.p对f∈L,1≤p≤∞,令(K)AMf(x)=MAKf,′则存在常数cK与cK使得(K)1(1)û{x:Mf(x)>s}û≤cKúfú1ös,对所有f∈L,s>0;K′-1p(2)Mfúp≤cKp(p-1)úfúp,对所有f∈L,10,K>Q使得û5(x)û≤A(max{1,ûxû})-K

7、},因而A(1)û{x:MUf(x)>s}û≤AcKúfú{1ös,}对f∈L1和s>0;A{p(2)úMUfúp≤AcKp(p-1)-1}úfúp,对f∈L,10,令333ûtûKuA=supûu(y,t)û,uK=supûu(y,t)û(-1).ûx-1yû≤ûAtûy∈G,t∈K3ûxyû+ûtû则类

8、似于[2]中定理4.1的证明方法可得命题2.5如果0Qöp,则存在仅依赖于A,K和p的常数c1>0,c2>0,使得3333c1úuAúp≤úuKúp≤c2úuAúp.由上面命题立得K推论2.6(1)如果f∈S′,U∈S,K>0,定义切向极大函数TU