《数列极限》PPT课件

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1、数列极限一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽播放正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数播放三、数列的极限观察数列问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列的极限是多少吗显然不能问题:“无限接近”意味着什么?如何

2、用数学语言刻划它.这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用

3、xn－a

4、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式

5、xn－a

6、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意

7、性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由

8、xn－a

9、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式

10、xn－a

11、＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示

12、xn－a

13、＜εn＞N④定义中的不等式

14、xn－a

15、＜ε（

16、n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证明因此则当n＞N时，有利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式

17、xn－a

18、＜ε不易考虑，往往采用把

19、xn－a

20、放大的方法。若能放大到较简单的式子，

21、就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明则当n＞N时，有例3证若q=0则上式显然成立下证q≠0的情形（不妨设ε＜1）注在论证极限问题时，都可以假设ε＜1，因为若对小于1的ε已经得到项数指标N，则对于大于1的ε上述项数指标N仍合乎定义要求。例4证四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.[分析]直接证明较困难，采用反证法由数

22、列极限的几何意义，在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有xn中的有限个点证用反证法a≠b不妨设a＜b矛盾，这说明结论成立例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：定理3若数列xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。例6对于数列xn证此时有此时有总之：恒有五.小结数列:研究

23、其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值反而缩小为从而时，仅有成立，但不是的充分条件．练习题三、数列的极限