数列的极限PPT课件

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1、一、数列极限的定义二、收敛数列的性质§1.2数列的极限一、数列极限的定义引例如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.得到一系列内接正多边形的面积:A1，A2，…，An，…构成一列有次序的数考虑当n时,An的变化趋势n越大,内接正多边形与圆的差别越小，从而把An作为圆面积的近似值也越精确.无论n取多大,只要取定,An终

2、究只是多边形的面积,还不是圆的面积当n无限增大时,即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中,从图形上看,内接正多边形将无限接近于圆;从数值上看,内接正多边形的面积无限接近于一个确定的数值,这个数值就是所要求的圆面积.数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n+1,.x1x5x4x3x2xn数

3、列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.数列的几何意义数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.数列与函数数列如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn

4、},其中第n项xn叫做数列的一般项.下面以一个具体的例子来分析它的具体含义：当n无限增大时,无限接近于1，等价于当n无限增大时,xn无限接近于常数a等价于n增大到一定程度以后,

5、xn-a

6、能小于事先给定的任意小的正数,当n无限增大时,无限接近于1，等价于数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

7、xna

8、

9、,NN当nN时有

10、xna

11、.极限定义的简记形式例如:牢记ε-N定义注意0,NN当nN时有

12、xna

13、.aa-ea+e()数列极限的几何意义存在NN当nN时点xn全都落在邻域(a-ε,a+ε)内:任意给定a的ε邻域(a-ε,a+ε),0,NN当nN时有

14、xna

15、.0,NN当nN时有

16、xna

17、.(1)ε>0;(2)要使

18、xn-a

19、<ε,由此不等式等价变形或用放

20、大法,使之容易解出n,即n>g(ε);(3)取N=[g(ε)];(4)则当n>N时有

21、xn-a

22、<ε.用“ε-N”定义证明的主要步骤:例1证0,NN当nN时有

23、xna

24、.用定义证明的步骤:1.ε>0;2.由

25、xn-a

26、<ε解出n>g(ε)3.取N=[g(ε)];4.则当n>N时有

27、xn-a

28、<ε例2分析:证明0,NN当nN时有

29、xna

30、.放大法使不等式更容易解出n用定义证明的步骤:1.ε>0;2.由

31、xn-a

32、<ε解出n>g(ε)3.取N=[g(ε)]

33、;4.则当n>N时有

34、xn-a

35、<ε例3设

36、q

37、<1,证明等比数列1,q,q2,,qn-1,的极限是0.0,NN当nN时有

38、xna

39、.证例4证放大法使不等式更容易解出n0,NN当nN时有

40、xna

41、.分子或分母有理化是常用的方法用定义证明的步骤:1.ε>0;2.由

42、xn-a

43、<ε解出n>g(ε)3.取N=[g(ε)];4.则当n>N时有

44、xn-a

45、<ε对于某一正数ε0如果存在正整数N使得当nN时有

46、xna

47、ε0是否有xna(n

48、)讨论0,NN当nN时有

49、xna

50、.思考说明二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一证.略(反证法).收敛数列的有界性有界数列例:数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M,M]上.定理2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.证设数列{xn}收敛于a根据数列极限的定义对e=1,NN+,当n>N时,有

51、x