《数列的极限》PPT课件.ppt

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1、第二章极限与连续2.1数列的极限一、数列的定义及基本特性定义：定义在自然数集上的函数称为数列，记为其中称为数列的通项或一般项，故数列又记为例1.例2.例3.例4.2.数列的基本特性单调性若{un}满足u1u2>>un>un+1>,则称{un}是单调递减的，记为{un};若不等式中的严格不等号换成不严格不等号时称{un}是单调不增的.单调递增、单调

2、不减、单调递减、单调不增的数列统称为单调数列.例1.（递减数列）例2.（递减数列）例3.递增数列例4.摆动数列的有界性如果存在一个常数m，使得对一切n，恒有un>m则称数列{un}有下界，m就是其中的一个下界；如果存在一个常数M，使得对一切n，恒有un

3、单调增加，有的单调减少，有的摆动，可是当n越来越大时，数列的各项越来越接近于零，常数零就称为数列的极限.定义设有数列{un}，如果当n无限增大时，un无限接近于常数A，则称数列{un}以A为极限，记为如何理解：当n无限增大时，un无限接近于常数A？我们以{(n+1)/n}为例，说明当n无限增大时，数列(n+1)/n无限接近于常数1的含义.若要

4、(n+1)/n–1

5、<1/100，只需n>100即可，若要

6、(n+1)/n–1

7、<1/10000，只需n>10000即可，(n+1)/n接近于常数1的程度，可以用

8、

9、

10、的大小进行衡量，n越大，上述的绝对值越小.若对于任意小的正数ε,要使

11、(n+1)/n–1

12、<ε,只需n>[1/ε]定义设有数列{un}和常数A，如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，当n>N时，恒有成立，则称常数A为数列{un}的极限，记为此时，又称数列{un}收敛，如果不存在这样的常数A,则称数列{un}发散（即极限不存在）.[P794]这就表明当n>N时，数列的各项都落入以A为中心,以为半径的小邻域内，至多只有有限个点(N个)落在邻域(A-,A+)之外.下面，我们给出数列极限的几何意义：例5.

13、用分析的定义证明分析：由数列极限的定义可知，对给定的，要找到正整数N，使得当n>N时，恒有

14、un-2

15、<成立.为此，我们可以通过解上述不等式的方法找到N.证明：对任意给定的>0,存在N=[2/],当n>N时恒有成立，由数列极限的定义可知例6：给定数列例7：在我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思是说，一根一尺长的木棒，每天截取一半，永远取不完.为什么？我们将每天截下的长度表示出来：(记作n),截下的长度　无限地变小以至无限地接近于0().由观察可

16、得到，当n无限增大时需要指出的是，虽然　无限接近于0，却永远不会等于0，这就是“万世不竭”的意思.下面是两个数列发散的例子：例8：数列{n2}:1,4,9,16,,n2,.随着n的无限增大，n2也无限地增大，不会趋于任何常数，因此该数列发散.例9：数列{1+(–1)n}:0,2,0,2,,1+(–1)n,.总在0与2之间相互交错，随着n的无限增大，不会趋于任何常数，因此该数列发散.三、数列极限的性质1.唯一性定理：若数列{un}的极限存在，则极限值必唯一.2.有界性定理：若数列{un}收敛，则{un

17、}必有界.注：(1)无界数列必发散.(2)有界的数列不一定收敛.例如{1+(–1)n}.3.保号性定理：推论：注：4.单调收敛准则：单调有界数列必有极限.作业:B类P392.3.4.思考P395.1.2.3.四、常见的收敛数列4.常数列的极限是其本身.2.2函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限考察数列：与函数我们知道xy012345n而当x沿x轴的正向无限增大时,从图形上可看出，的值越来越小以至无限地接近于0，我们记为从几何上看，如果f(x)向右方延伸，越来越接近于一条水平直线y=c，则称

18、常数c为x趋向正无穷大时函数f(x)的极限，记为下面，我们给出的定义若当x沿x轴正向(即x>0)无限增大时，f(x)无限地接近于某个常数A，则称f(x)当x+时有极限值A，记作：定义1或定义设有函数f(x)和常数A，如果对于任意给定的正数，总存在正数M，当x>M时，恒有成立，则称x趋向正无穷大时，f(x)以A为极限与数列的自变量n不同的是，函数的自变量x也可以取负值。而当x沿x轴的负向无限减小时,的值也是无