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1、第二章极限与连续12.1数列的极限2一、数列的概念定义1设是一个以正整数集为定义域的函数,将其函数值按自变量n的大小顺序排成一列称为一个数列.数列中的每一个数叫做数列的项,第n项叫做数列的一般项或通项.数列也可表示为或3定义2若数列满足则称是单调递增数列.如果则称是单调递减数列.如果上述不等式中等号都不成立,则称是严格单调递增数列或严格单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列.4定义3若存在,使得对一切,都有则称数列是有界的,否则称是无界的.二、数列的极限定义4设为一数列,若当n取正整数且无限增大时,数列中对
2、应的项(即通项)无限接近于一个确定的常数A,则称收敛于A,或称A为的极限,记作此时也称的极限存在.否则称的极限不存在,或称发散.或5定义5设是一个数列,A是一个常数,若对任给的存在正整数N,使得当时,都有,则称A是数列的极限,或称收敛于A,记作此时也称的极限存在.否则称的极限不存在,或称发散.或注:1.定义5中的是预先给定的任意小的正数,因此,既具有任意性,又具有确定性.62.一般说来,定义5中的N是随的变化而变化的,给定不同的,所确定的N一般也不同.3.定义5中“当时,有”的意思是从第N项的各项都满足4.数列极限的几
3、何意义.就是对以A为中心,以任意小的正数为半径的邻域,总能找到一个N,从第项开始,以后的各项(无限多项)都落在邻域内,而在外,至多有N项(有限项).例1证明7三、数列极限的性质及收敛准则定理1(唯一性定理)若数列收敛,则其极限值必唯一.定理2(有界性定理)若数列收敛,则必是有界数列.若是无界数列,则发散,即不存在.8定理3(保序性定理)设的极限存在,且则存在正整数N,当时,有推论1(保号性定理)设的极限存在,且(或),则存在正整数N,当时,有(或0).推论2设的极限存在,若(当时),则特别地,若(或),则(或).9注:
4、在推论2中即使是,也只能推出定理4(夹逼定理)设数列满足(当时),且,则例2求例3求10即单调有界数列必有极限.数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限.定理5(单调有界数列收敛准则)单调递增且有上界的例4设,证明存在.例5设,证明存在.11
