11等差、等比数列及其综合应用

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1、等差、等比数列及其综合应用第一部分知识梳理一、等差数列的概念和性质1、定义：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.2、通项公式：等差数列的通项公式为：3、基本性质：在等差数列中，设其公差为（1），其中，且；（2）若，则一定有，特别地，当时，；（3）的子数列也成等差数列（），且公差为；（4）也成等差数列，且公差分别为，；（5）当时，单调递增；当时，为常数列；当时，单调递减.4、等差数列的前项和：等差数列的前项和公

2、式为.5、等差数列的前项和的性质：设是等差数列的前项和：（1）数列是等差数列；（2）数列是等差数列.二、等比数列的概念和性质1、定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.2、通项公式：等比数列的通项公式为3、基本性质：在等比数列中，设其公比为.（1）其中，且；（2）若，则一定有：，特别地，当时，；（3）的子数列也成等比数列，且公比为；（4）也成等比数列，且公比分别为，；（5）当时，数列单调递增；当时，是常数列或摆

3、动数列；当时，数列单调递减.4、等比数列的前项和公式：三、由递推数列求通项公式的方法1、递推数列的概念：由递推公式确定的数列叫做递推数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式,由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式…….等差数列与等比数列是最基本的递推数列.递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式.2、求递推数列通项公式的常用方法：（1）公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法.常用的公式有,以及等差数列和等比数列的通项公式.（2）累加法：利用恒等式求通项公式的方法称为累加法.累加法是求形

4、如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列可求前n项和）.（3）累乘法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法.累乘法是求形如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列可求前n项积）.（4）转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比数列有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.四、等差、等比数列的实际应用1、数列应用常见模型：（1）银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为元，每期利率为，存期为，则本利和.（2）银行储蓄复利公式：利息按复利计算，本金为元，每期利率为，存期为，则本利和.（3）分期付款：设某

5、商品一次性付款的金额为元，以分期付款的形式等额地分成次付清，每期期末所付款是元，每期利率为，则（4）产值模型：原来产值的基础数为，平均增长率为，对于时间的总产值2、数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何等的结合，都是常见的题型.第二部分典型例题讲解例1、若等差数列的前四项和为26，最后四项和为110，所有项和为187，则此数列的项数是.解：由题意，得所以代入解得11小结有关等差数列与等比数列的运算问题通性、通法有两个：①化归到基本量间运算；②利用性质解题.一般而言前者基础，不易出错，但

6、运算稍复杂些，后者解题简捷，过程优化，但思路的寻找需一定的功底.学习中要加强两种方法的训练.例2、设等差数列前项和为，已知（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.提示：等差数列求前n项和的最值问题：可以根据项的正负来定.若a1>0,d<0，则数列的所有正数项之和最大；若a1<0,d>0，则数列的所有负数项之和最小.解:(1)由得由得即，将代入并解得由得即，将代入并解得，综上可得；（2）由和得且，所以中最大.例3、等比数列共有偶数项，且所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为45，则公比.解：由题

7、意，得3例4、设为数列的前项和，，其中是常数．（1）求及；（2）若对于任意的，成等比数列，求的值．解：（1）当，当经验证，当式成立，（2）成等比数列，，即整理得：，对任意的成立，或例5、已知数列中，，则=.解：由得所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列.所以，从而得例6、在数列中，，．（1）求数列的前项和；（2）证明不等式，对任意皆成立．解:（1）∵数列的通项公式为∴数列的前n项和为：当时，当且时，，∴不等式，对任意皆成立.分组求和（2）任意，例7、某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部奖金的一半多

8、一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好奖金分完，则此科研单位共拿出万元奖金进行奖励.解：设第10名到第1名得的奖金数分别是，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列为什么？例7、某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部奖金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下