一阶微分方程的模型及其解法

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1、哈尔滨师范大学学　年　论　文题目一阶微分方程的模型及其解法学生孟宪凤指导教师潘少荣副教授年级2010级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年12月-14-论　文　提　要常微分方程作为一门学科，有其独特的地位。常微分方程是一门专门研究微分方程的一门学科，包括一阶微分方程、一阶二维微分方程组、一阶二维非线性方程组、二阶线性常系数微分方程、还有一阶n维线性微分方程组。其中，一阶微分方程作为微分方程中最简单的,也是作为一种非常基础的微分方程的类型,有其非常重要的作用，不仅是微分方程的入门方程类型,而且，为后继微分方程的学习打下

2、坚实的基础。鉴于一阶微分方程的这个突出作用，本文将对一阶微分方程的模型作一个简要介绍以及一阶微分方程的解法作一个比较系统的阐述。-14-一阶微分方程的模型及其解法孟宪凤摘要：常微分方程作为一门学科，有其独特的地位。常微分方程是一门专门研究微分方程的一门学科，包括一阶微分方程、一阶二维微分方程组、一阶二维非线性方程组、二阶线性常系数微分方程、还有一阶n维线性微分方程组。其中，一阶微分方程作为微分方程中最简单的，也是作为一种非常基础的微分方程的类型，有其非常重要的作用,不仅是微分方程的入门方程类型，而且,为后继微分方程的学习打下坚实的基础。鉴于一阶微分

3、方程的这个突出作用，本文将对一阶微分方程的模型作一个简要介绍以及一阶微分方程的解法作一个比较系统的阐述。关键词：.变量分离　线性原理　齐次方程一、一阶微分方程模型1.Malthus人口模型英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象:人口出生率是一个常数。在1798年，他发表了《人口原理》一书,其中提出了著名的Malthus人口模型。他的基本假定条件如下，在人口自然增长的过程中，人口增长率与人口总数成正比，现在对此进行分析，该假定条件比较简单，因而期望该数学模型也较简单。此模

4、型涉及如下数量：t表示时间(变量)，P表示人口数(依赖于时间)，k表示人口增长率与人口数之间的比例常数(参数)，参数k称为单位增长率。人口数关于时间的增长率t是人口数P关于时间变量t的导数，与人口数成正比描述为kP，因而得如下微分方程：,这是本课程得出的第一个微分方程的实例，其为一阶常微分方程。2.Logistic人口模型因为资源是有限的，人口不能无限制的增长，为了改进Malthus人口模型,作如下假定：（1）当人口数很小时，增长率与人口数成正比；（2）当人口数很大，达到资源和环境不能承受时，人口数开始减少，即增长率为负的。沿用Malthus模型中

5、的量，t表示时间（变量），P表示人口数（依赖于时间），k-14-表示人口增长率与人口数之间的比例常数（当人口数很小时）。此外，由资源与环境所限，引入另外的参量N，称为最大承载量（carrying　capacity），用以表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数。因此，在假定条件下，当时，人口是增加的；当时，人口是减少的，即当P较小时，；当时，。为了使模型尽可能的简单，要在Malthus模型的基础上添加一定的量X，使得，称为且有增长率k和最大承载量N的Logistic人口模型，该模型由蒋伯潜生物学家Verhulst在1838年提出。二、基本概念和基

6、本原理1.基本概念一阶微分方程如果具有的形式，其中是的连续函数，则称为一阶线性微分方程。若，则称为一阶齐次线性微分方程；否则，称为一阶非齐次线性微分方程。例如，都是一阶线性微分方程。当为常数时，称之为一阶常系数线性微分方程。说一阶微分方程是线性的，则它必有形式即在微分方程中未知函数及其一阶导数是一次的。例如，-14-不是线性的，无论怎样选取都不能有表示成的形式。方程的线性与自变量的选取无关。例如，是线性的，其中又如，是线性，但不是线性的。2.基本原理定理1（线性原理）　若是齐次方程的一个解，则对任意常数也是方程的解。定理2（拓广的线性原理）　考虑非

7、齐次方程和它相应的齐次方程，（1）若是齐次方程的解，而是非齐次方程的任一解，则它们的和是非齐次方程的解；（2）若是非齐次方程的两个解，则它们的差是齐次方程的解。因此，若非零，则是非齐次方程的通解，其中为任意常数。三、一阶微分方程的解法（一）一阶微分方程的类型1.变量分离方程（1）微分方程基本概念微分方程是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式。在前面讨论的微分方程模型中含有三种量：自变量（一般是时间t）、未知的因变量（自变量的函数）及参数。微分方程的阶数就是所含有的未知函数导数的最高阶数，前面讨论的Malthus人口模型及Logistic人口模型的

8、未知函数导数都是一阶的，因而它们都是一阶微分方程。一阶微分方程的标准形式为。一般情况下，方程的右端项是自变量及未知函数的函