总结一阶微分方程的类型及其解法

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1、总结一阶微分方程的类型及其解法（一）总结一阶微分方程的类型及其解法1可分离变量的微分方程设有一阶微分方程，如果其右端函数能分解成即有，则称方程为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(y)都是连续函数。例：求微分方程的通解解题设方程是可分离变量的，分离变量得两端积分得从而记则得到题设方程的通解2.齐次方程形如的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程。齐次方程通过变量替换，可化为可分离变量的方程来求解。例.求解微分方程易见，题设方程是齐次方程，令则，于是，原方程变为即分离变量，得两端积分，得，或将回代，则得到题设方程的

2、通解为一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程，其中是某一区间I上的连续函数，当时，方程变为，这个方程称为一阶齐次线性微分方程。相应地，方程称为一阶非齐次线性微分方程。例.求方程的通解解：题设方程是一阶非齐次线性方程，这里于是，所求通解为4.伯努利方程形如的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且例.求方程的通解解，以除方程的两端，得即令，则上述方程变为解此方程得以代z，得通解为1.衰变问题2.逻辑斯蒂方程3.价格调整问题4.人才分配问题二、举例说明微分方程的应用（1）衰变问题例：碳-14（）是放射性物质，随时间而衰竭

3、，碳-12是非放射性物质，活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳-14衰减损失量而保持碳-14和碳-12之比为常数，通过测量，已知一古墓中遗体所含碳-14的数量为原有碳-14的80%。试确定遗体的活性人体的死亡年代。解：放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律。设遗体的活性人体当初死亡时的含量为，t时的含量为,于是，含量的函数模型为其中k是一常数常数k可以这样确定：由化学知识可知，的半衰期为5730年，即经过5730年后其含量衰减一半，故有即两边取自然对数，得5730k=,即于是，含量的函数模型为

4、由题设条件可知，遗体中的含量为原含量的80%，故有即两边取自然对数，得于是由此可知，遗体的活性人体大约死亡于1845年前。Thankyou!