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1、高数论文一阶微分方程解法的研究研究课题：一阶微分方程的解法小组成员：张鹏窦文博孙洪毅余雷学院班级：商学院工商管理（2）班8第一节微分方程的基本概念【考研大纲要求解读】了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。【重点及常考点突破】1.一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y’）=0y（x0）=y0寻求过点（X0,Y0)且在该点出的切线斜率为y’的满足方程的那条积分曲线。2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或多次求导化为微分方程求解。3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至n阶导数，代入方程看是否恒等，若恒等，再进一步验
2、证初始条件。【典型例题解析】基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解.【例1】判断y=x（∫e^x/xdx+C）是方程xy’-y=xe^x的通解。将原式代入即得解：由y=x（∫e^x/xdx+C），两边对x求导得；y’=∫e^x/xdx+C+x*e^x/x，即y’=∫e^x/xdx+C+e^x，两边同乘以x，得xy’=x（∫e^x/xdx+C）+xe^x=y+xe^x，即xy’-y=xe^x.故y=x（∫e^x/xdx+C）是原方程的通解.基本类型二：化积分方程为微分方程.【例2】设f(x)=sinx-（x-t）f（t）dt，其中f为连续函数，求f（x）所满足的微分方程.【思路探索】如
3、遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件解：对原积分方程关于x求导，得F’（x）=cosx-f（t）dt，①对①式关于x求导得f“（x）=-sinx-f(x),即f“（x）+f（x）=-sinx又有f（0）=0，f’（0）=1，记y=f（x），则f（x）满足的微分方程为y”+y=-sinxY
4、x=0，y’
5、x=0=1基本类型三：求初值问题的解【例3】求以下初值问题的解y”=xy（0）=a0，y’（0）=a1，y”（0）=a2.解：由y”=x，得y”=1/2x^2+C1，y’=1/6x^3+C1x+C2
6、，y=1/24x^4+1/2C1x^2+C2x+C3,8其中C1，C2,C3为待定的常数，将初值y”（0）=a2，y’（0）=a1，y（0）=a0代入以上三式得C1=a2，C2=a1，C3=a0，故初值问题的解为y=1/24x^4+1/2a2x^2+a1x+a0.基本类型四：由微分方程通解求微分方程【例4】求以y=C1e^x+C2e^-x-X(C1，C2为任意常数)为通解的微分方程.解：由y=C1e^x+C2e^-x-X，①两边关于x求导得y’=C1e^x-C2e^-x-1②上式两边再关于x求导得Y”=C1e^x+C2e^-x③由①式与③式得y=y”-x,即所求微分方程为y”-y-x=0第二节
7、可分离变量的微分方程【考研大纲要求解读】掌握可分离变量的微分方程【重点及常考点突破】1.可分离变量方程的通解形式为：∫1/g(y)dy=∫f(x)dx，由于将g(y)作为分母，故若g(y)=0有解y1,y2,y3,....ym,则变量可分离方程还有特解y=yi(i=1,2,...,m).故注意在分离变量的同时，经常在两边要同除以某一函数，此时往往会遗漏该函数的某些特解，而这些特解通常并不能由通解得到，因此要及时补全。2.在解微分方程时变量代换是重点也是难点，应根据具体问题尽量简化方程，选好代换变量，使得变换后的方程式比较熟悉的方程类型，求解后，应还原为原变量。【典型例题分析】基本类型Ⅰ：求解可
8、直接变量分离型微分方程【例1】求解下列微分方程（1）ydy+(x^2-4x)dy=0;(2)xyy’=(x+a)(x+b);(a,b为常数)（3）1+y’=e^y解:(1)分离变量得dx/x^2-4x+dy/y=0,即1/4（1/x-4–1/x）dx+dy/y=0,积分得1/4（ln
9、x-4
10、-ln
11、x
12、）+ln
13、y
14、=C1故原方程通解为（x-4）y^2=Cx(C为任意常数)，特解y=0包含在通解之中。（2）用x（y+b）去除方程，则有y/y+bdy=x+a/adx.积分得y-bln
15、y+b
16、=x+aln
17、x
18、+C1故通解为x^a(y+b)^b=Ce^y-x(C为任意常数)，特解y=-b包含在
19、通解之中。（3）由原方程可得dy/dx=e^y-1分离变量得dy/e^y-1=dx,积分得∫dy/e^y-1=∫dx，∫（1/e^y-1–1/e^y）de^y=∫dx,ln
20、e^y-1/e^y
21、=x+lnC1则通解为ln
22、1-e^-y
23、=x+lnC1即1-e^-y=Ce^x(C为任意常数)。8方法点击:变量分离的同时，有时会漏掉一些解，最后要补上，这一点一定要注意！基本类型Ⅱ:求初值问题的解【例1
