一阶线性微分方程的解法

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1、一阶线性微分方程的解法班级：化工与制药类01班学号：1206210102姓名：陈佳摘要：讨论一阶线性齐次和非齐次微分方程的解法：齐次方程，分离变量法；非齐次方程，常数变易法，公式法。关键词：一阶，线性方程，解法。一阶线性线性微分方程：形如+p(x)y=Q(x)的方程为一阶线性微分方程。（1）当Q(x)≡0时，为一阶线性齐次微分方程。（2）当Q(x)≠0时，则为一阶线性非齐次微分方程。（一）一阶线性齐次方程的解法分离变量法:齐次方程是可分离变量的方程，分离变量后得=—P(x)dx两边积分得ln

2、y

3、=－+C1y=C(C=

4、)齐次方程的解法与可分离变量的微分方程的解法思路大体一致。常见的习题有求通解和求特解两种。a.求通解问题例1求方程x=y-3的通解齐次方程，分离变量得=两边积分得ln

5、y-3

6、=ln

7、x

8、+lnC即y=Cx+3b.求特解问题例2求方程+3y=0在x=0,y=2时的特解P(x)=3=-3dx两边积分得ln

9、y

10、=-3x+C1y=代入初始值得C1=ln2即所求微分方程的特解为y=（一）一阶非齐次线性方程的解法常数变易法：求其对应齐次方程通解y=C;再令C=C(x),即y=C(x);再把上式代入非齐次方程求得C（x）的微分方

11、程，求出C（x）;最后把C（x）代入便可得到非齐次方程的通解。齐次方程为非齐次方程Q(x)≡0的一种特例，因而两种方程的通解之间必然存在着联系。即非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和。公式法：公式法是有常数变易法所求得的通解，利用齐次和非齐次线性方程关系整理变形出得到的一个求解非齐次线性方程的通式。即y=C在实际计算时，对于两种方法应该根据需要合理选取。很多时候，两者可以通用。a.利用齐次与非齐次线性方程的通解间关系解题例1设y1(x)是y′+p(x)y=q(x)的一个特解，求该

12、方程的通解利用两者之间的关系可求得所求通解为y=y1+Cb.常数变易法求解通解的问题例2求方程y′+2xy=x的通解。其对应齐次方程y′+2xy=0的通解为y=C设原方程的通解为y=C(x)求导得y′=C′(x)-2xC(x)将y和y′代入原方程得C′(x)-2xC(x)+2xC(x)=x即C′(x)=x积分得C（x）==代入原方程得通解为y=()c.求特解的问题例3已知方程求其在x=0,y=2的特解。P（x）=2xQ(x)=4x代入公式得将初值代入求得C=1所以所求方程的特解为y=+2d.与一阶线性方程求解有关的证明

13、问题例4设函数在上连续，且，a，b为常数。求证：方程的一切解在上有界。证明：由于因此存在，使得当时，有，由连续性可知，只需证明在上有界。其中，，所以方程的一切解在上有界。例55．设在上连续，且，又。求证：方程的一切解均有证明：由上题知在上有界。由于因此，对任何存在，使得当时，有且，所以当时同理所以一阶线性方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。因此，学好一阶线

14、性方程对我们日后的学习和研究有着奠基作用。