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《一阶线性微分方程组的解法新探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第24卷第1期湖南工业大学学报Vol.24No.12010年1月JournalofHunanUniversityofTechnologyJan.2010一阶线性微分方程组的解法新探阳凌云，符云锦（湖南工业大学理学院，湖南株洲412008）摘要：探讨了一阶线性自治非齐次微分方程组的特解，以及一阶线性齐次微分方程组的基本解组的求解问题，并提出新的特殊解法，从而得到其通解。关键词：微分方程组；特解；基本解组中图分类号：O175文献标志码：A文章编号：1673-9833(2010)01-0016-04ANewInvestigationOnSolutionofFirst-OrderLinear
2、DifferentialEquationsYangLinyun，FuYunjin(SchoolofScience，HunanUniversityofTechnology，ZhuzhouHunan412008，China)Abstract：Investigatesparticularsolutionsoffirst-orderlinearautonomousnonhomogeneousdifferentialequationsandthebasicsetofsolutionsforfirst-orderlinearhomogeneousdifferentialequations.And
3、proposesanewspecialmethodtoobtaingeneralsolutionsoftheaboveequations.Keywords：differentialequationsystems；particularsolution；basicsetofsolutions求解一阶线性非齐次微分方程组时，有2个问题线性非齐次方程组AY+F=0的1个非0解，则微分方值得研究：一是求解一阶线性非齐次微分方程组程组（2）的通解为，（1）。证明若detA≠0，则由克拉默（Cramer）法则或一阶线性自治非齐次微分方程组可知线性非齐次方程组AY+F=0有唯一的非0解；（2）若de
4、tA=0，则由克拉默法则可知AY+F=0有无穷多组解，从而可取其中1个非0解。由于的每一个元的特解，通常都是用常数变易法[1-2]求其特解，其计算量很大；二是求解方程组（1）所对应的齐次微分方程都是常数，故有，又，所以有组的基本解组，到目前为止没有一般的方法。本文试，即是微分方程组（2）的1个特解。从图对上述2个问题进行探索，并针对2种特殊类型的微分方程提出其特殊的解法。而微分方程组（2）的通解为：。1一阶线性自治非齐次微分方程组以下给出2个例子说明定理1的应用。特解的新求法例1解微分方程组定理1设Y，Y，…，Y是微分方程组（2）所12n解，对应的齐次微分方程组的1个基本解组，是收稿
5、日期：2009-08-16通信作者：阳凌云（1947-），男，湖南湘潭人，湖南工业大学理学院教授，主要研究方向为分析学及其应用，作者简介：E-mail：yly_mc@sina.com第1期阳凌云，符云锦一阶线性微分方程组的解法新探17矩阵A的特征方程的特征根为1,2=1。根据待定系数2单项等幂线性微分方程组的解法法[3-5]，可以求出原方程组所对应的齐次微分方程组的通解为：定义1设，则称矩阵。下面根据定理1可求出原方程组的1个特解。因，则由克拉默法则可知线性方程组AY+F=0有唯一的解，所以原方程组的通为单项等幂矩阵，并称微分方程组解为：。为单项等幂线性微分方程组。为书写方便，记。例
6、2解微分方程组定理2若矩阵A的特征单根,,…,所对应的12n特征向量分别为T；A(x)=Axn，则单项等幂,T,…,T12n线性齐次微分方程组解。矩阵A的特征根（3）的通解为：1=0，2=-3，3=2所对应的特征向量分别为。（4）证明因为矩阵A的特征单根,,…,所对应12n的特征向量分别为T,T,…,T，则由高等代数知识可12n。知，恒存在非奇异矩阵，使得下面根据定理1可求出原方程组的1个特解。，因，则由克拉默规则可知所以。AY+F=0有无穷多组解取其非0解令Y=TZ，（5），所以原方程的通解为：则，。即（6）18湖南工业大学学报2010年易见方程组（6）有n个线性无关解：量），得：
7、（9）把这n个解代回变换式（5）中，便得方程组（3）的注意到方程组（9）与（8）是等价的，故定理4得证。1个基本解组：特别地，当n=0，即A(x)=A时，单项等幂线性齐次微分方程组就变成常系数线性齐次微分方程组（此其中T是T的第i列向量。所以方程组（3）的通解为：i时式（7）中的M=x）。。以下给出1个例子说明定理2的应用。定理3若矩阵A有m个不同的特征根,,…,12，它们的重数分别为k；A(x)=Axn，则单,k,…,kn12m例3试求微分方程组的项等幂
