线性微分方程组的矩阵分块解法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com，—--．1996年青海师范大学学报(自熊科学版)1996第2期JournalofQinghaiNormalUniversit(NaturalScience)No．2线性微分方程组的矩阵分块解法(2)左光纪J_]Q!-1

2、＼(-It海民族学院)A摘要本文讨论矩阵接可约性或嵇的分块问题．对可约阵或奇异阵分别给出了线性赣分方程组的矩阵分块解法．还作了物理解释．胖的生墨柏图解I1引言”。，E阵J『，”，设有线性微分方程组xI：A(f)x其中阶函数矩阵A(f)在tECa，b3上连续周知，求(1)的通解归结为求它的基解

3、矩阵。当A(f)为常矩阵时，可用矩阵特征值法求基解矩阵；但是，对高阶矩阵求特征值仍有困难，当A(f)为变矩阵时尚无求解方法c1]。看来，求解(1)的难点在于A(f)的阶太高。许多由实际问题得出的方程组(1)中，A(f)往往含有大量零元素(所谓稀疏矩阵)，或者不是满秩的。这时，可否将A(f)分块使求解问题降阶?本文将结合矩阵的组合性质和代数性质，对A(f)可约或奇异两种情形，讨论(1)的矩阵分块解法。2矩阵的不可约分块与图论方法对稀疏矩阵，零元素的位置分布是至关重要的。文C23把仅与矩阵的零元位置分布有关，而与非零元的具体数值无关的那些性质称为矩阵的组合性质

4、。矩阵的可约性就是一种组合性质，它在置换相似(即行列同步交换)下不变。。定义l设A为阶方阵，若存在阶置换矩阵P，使PP具有如下分块形式r．01PAP：lL^．1，AIA2为非空方阵；2J则称A是可约的；否则，称A是不可约的。定义2设A=Ca]是≈阶方阵，A的伴随图G(A)=(，E)是以={1，2，⋯，n}为点集，以E={(，)Iaij≠O}为弧集的一个有向图。命题1方阵A为不可约的充要条件是伴随图G(A)强连通。命题2设A是可约方阵，则存在置换阵P，使PAP具有分块下三角形：PAP一维普资讯http://www.cqvip.com青海师范大学学报(自然科学

5、版)1996l其中对角块^，^“，A，为不可约子方阵。我们称(2)为方阵A的不可约块标准形。下述例子显示了化方阵为不可约块标准形的图论方法，用到的术语可参见文C33C4]。例1求矩阵^的不可约块标准形0O000050O0O0O一30●一2O0400200—100O00l(5)2(13(2)sl2}S，{】．{伴随图G‘^)强连通支收缩囤G’(A)00l一f。。1，B(G-(^))10、512634，01如G(^)的点集上老新标号构成的置换G(A)的下三角形邻接矩阵Ol0000500000(1)0010000．0—30：00(2)：O000l02：00—10

6、0(3)P一PAPO00OOl0300：09(4)⋯⋯一⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。l000000100001(5)：：、000l000：040·一20(6)由确定的置换矩阵新号码下G∽)对应的分块下三角阵3可约矩阵下微分方程组的分块前一节的讨论对函数矩阵仍然有效．设方程组(1)中的矩阵^(z)为可约⋯．篱令y=Px，即将X的分量重新编号，(1)化为‘"Ov，一Y(3)LB()^2【f)J设y一(，yD，则(3)等价于两个子方程组维普资讯http://www.cqvip.com第2期左光纪：线性微分方程组的矩阵分块解法3fy=A1(￡)y】(4)【y=Az(￡)y2

7、+B(f)yl(5)若能求得(4)的基解矩阵中(t)。又能求得yA2(￡)y2(6)的基解矩阵(￡)，则可在(4)的通解Y1一()c中分别取c为C【一(1。o，⋯，0)，c(0。1，0⋯，0)，⋯，cp=(0，⋯。o，1)代入(5)，再用常数变易法求出(5)的P个解向量，进而可得出(3)的基解矩阵。归结起来，我们有下述结论．定理l若(f)、(f)分别为(4)、(6)的基解矩阵，则(3)有分块下三角形基解矩阵)O]L(￡)“)J其中．(f)一z(f)上’0)(s)】(s)ds(7)例2求方程组x一A(t)x的基解矩阵，其中r10202fCostA(t)：}l

8、400LOCOSt2f这是一个变系数线性微分方程组，且A(￡)的阶较高，在一般教科书上找不到解法。但是用图论方法可发现A(￡)的伴随图有两个强连通支，进而可得到它的不可约块标准形12004300PA(t)PP102fCost01Cost孔令y=Px，原方程组化为Y一(PA(f)P)y设㈥㈨一一(：3容易算出．yl一A【yl有基解矩阵-(r)一[，一e-一t]用初等积分法可求Od,Y2一A：(f)y2的通解．进而得知它有基解矩阵fts]2(f)一l，l-+一j用常数变易公式(7)，得rr(f)一(￡)(s)·I·(s)ds。～)I一出⋯妄F一2维普资讯htt

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