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《常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、当二。时,它二者相差的一项是是一琴O=1+x+,负数项前者的图象应在曲线刀丝2的下方才对!,=。留的相5)就吻合曲线与曲线互关,,系看由交错级数的误差估计公式不难断一:当二,,二1+二+定<。时曲线零应在曲2,一一_线,一。二的上,:二1十二++方而曲线`军-’.’---一荟一~“`一-!2!3。`.,应在曲线y二的下方该书的图在这方。面也把关系搞颠倒了x<0原书上的图象是不是只在一侧的虚注:图中I表示方程万=1+x的图象,。x二线长短画错了?不止如此而已只把O的“,·/+,*表示方程的图象表示左侧的虚线长短改变,卜一下
2、仍不能避免本文等。.前三条中所指出的不妥之处方程“=`+/++的图象.苦碧那末代替图1的图是什么呢?请看图2常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法西安矿业学院冯樵台,,它是解常系数线在高等数学微分方程一章中介绍了解常系数线性微分方程组的消元法。性微分方程组的最初等的方法消元法的基本思想是用微分法消去方程中某些未知函数及其,。,各阶导数最后得到只含一个未知函数的高阶常系数微分方程解出这个高阶方程的解后,。再根据消元过程一般不用积分就可求出其余的未知函数对于未知函数较少的小型微分方,。.程组采用消元法较为简便对于未知函数较多时就
3、得寻求更为有效的方法本文对常系数。,线性齐次微分方程组的消元法和矩阵法作对比介绍在掌握线性代数的知识后用矩阵法解。常系数线性齐次微分方程组较为方便例1用消元法解微分方程组刁,j了、飞.马口了口以一口左一d卜ùX一份ǔt=x+2万(l)=4x+3对(2):解由(1)得“=一x令嵘)(3)将(3)式两边对t求导得一一贵借(多一佘)(4)、将代入式有方一`登一`“￡一`解得将式代入式得一`夕二一`二“,“一`+cZe`’所给微分方程组的通解为丁L杏“一cle一t+Zc:e石`下面介绍解常系数齐次微分方程组的矩阵方法.对于一般常
4、系数齐次线性微分方程组鱼鲤dx(l=a21岁l+a12夕:+…+az:夕刃一·,,=a幻:卜aZ艺夕2++aZ刀夕光(6)夕.................................……=“1+”2++…二货一一击`“,x”xōJr`wel,l「`,1「“,刁f口一2…忍1刀l·“x,二“x,一a22aZ,Y少`,孽户`,A口21…令1`.!“x}`,.、}{{}!}1.`.“夕。x)刀先(x)“an一a刀2夕。招(dY则(6)式可改写为一:一二Z生I(7)“dX因。几`的导数为。孟`,,,久与未求导前仅差一常数
5、几根据方程组(7)的特点假设=e潇刃YR(8),,。“:1,:2,:了为方程组(7)的一个解其中久为待定常数R是待定常向量令R(…),把(8)代入(7)化简得一A)e通`={)(久刀Re潇J,因为子0所以(几E一A)R=0(9),二,,由线性代数可知当又久为A的特征值时向量方程;一=(几EA)R0(10)。,`,`必有非零解向量R且当(7)的两个特征值久子与时其对应的特征向量R与凡必线性。无关,,`,`e4,:设几是A的特征值R是对应的特征向量则R俨是(7)的解如果A有个不,同的特征值可以证明le通金,,。e月。,R1…
6、天,为方程组(7)的线性无关解则它们的线性组合夕=c::。月`+c:2e42`+c。3e孟3二++c:Roe4:印Ri天R…(11),。,,。:,,,是方程组(7)的通解其中…%是任意常数当矩,,阵有相同特征值时求通解要用到矩阵的若当标冲形方面的知识由子一般工。,科院校的线性代数未讲到所以本文不作介绍例2用矩阵方法解方程组口,、夕盖J心,曰,丈了.、,昆以左d以封Xl君t=年十2刀二4戈+3万.解原方程组的系数矩阵为,=`’()、了43,,:=。A的特征值为久二一1几它们的特征向量分别为,、、刀/、户、一主、、/,*:·
7、犷`ll=.ó厂`R一(卜f、下2/2/所给齐次常系数线性方程组的通解为二一一+:2(雪)(l)一(;)一。x=c.e一t+e,。“即仁cle一奋+Z:己“`万=一c当:,,矩阵A的个特征值中的某一特征值为复数时其通解就是复值的我们可以用下面.的方法求得(7)的实值解,,,因为A为实矩阵它的特征方程为实系数方程如果A有复的特征值则这些特征值.:2,一定是共辘出现的不妨设久与几共扼令;=a+,2=a一又i口.}`尽(口铸。)“,。:、:;、Z。,其中刀为实数与允久对应的特征向量RR也可以使它们是共辆的所以可以把:。`忿
8、:。4留R1与R2写成如下共辘的形式:e之1公=ux+vx,:e月刃“ux一,xR()i()R2()i(),因为(7)的两个线性无关解的线性组合仍是(7)的解所以le潇`+:e孟子_一e通1劣一:e42亩R1R2RR:`(x)=(x)2i。是(7)的两个实值解,.,:对每对共扼的特征值总可以求得两个线性无关的实特解最
