常系数齐次线性微分方程组.ppt

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1、§7.3常系数线性方程组一阶常系数线性微分方程组:本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.易知（2）有形如将(3)代入(2)得1基解矩阵与A的特征值和特征向量的关系方程(4)有非零解的充要条件是:结论2基解矩阵的计算方法定理3.1是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵.证明:由上面讨论知,每一个向量函数都是（2)的解,因此矩阵是(2)的解矩阵,所以矩阵A具有n个互不相同的特征值时由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关的特征向量。例1求方程组的通解.解因此特征根为它们相的特征向量为故基解矩阵为故通解为（4）若实系数线性齐次方程组（2）有复值解

2、则其实部和虚部都是（2）的解.证明因为是方程组（2）的解，所以有由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，所以有即和是方程组（2）的解.实矩阵A有复特征根一定共轭成对出现，即如果是特征根，则共轭复数也是特征根，对应的特征向量也与对应的特征向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭的复值解.例求解方程组解系数矩阵A的特征方程为故有特征根且是共轭的.对应的特征向量满足方程取则得是对应的特征向量，因此原微分方程组有解故且和是原方程的两个线性无关解，故原方程组的通解为例3.5考虑常系数非齐次线性微分方程组(1)(2)常系数非齐次线性微分方程组其

3、对应的齐次线性微分方程组为维列向量这里是实常数矩阵,是函数.根据解的结构定理知,方程(1)的通解为(2)的通解与方程(1)的一个特解之和.前面我们研究了方程(2)通解的求法,这一节我们只研究(1)的特解即可.方程组（2）的基解矩阵为因此常系数非齐次方程组（1）的通解为(3.8)这里C为任意常数列向量.方程组（1）满足初始条件的解为(3.9)例求解初值问题解:首先,我们求基解矩阵因此矩阵有特征根对有特征向量进而得到对应的齐次方程组的一个解的特征方程为对有特征向量因此所以对应的齐次方程有解这样可以得到齐次方程组的基解矩阵因此且由公式(3.

4、9)得,原方程的解为