一阶线性微分方程的几种解法和思路分析

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1、万方数据第30卷第7期成都师范学院学报2014年7月V01．30JOURNALOFCHENGDUNORMALUNIVERSITYJul．2014一阶线性微分方程的几种解法和思路分析魏明彬(成都师范学院数学系，成都611130)8摘要：常数变易法是求解线性微分方程的重要方法。数学家是如何想到的，是一个值得探讨的问题。讨论了得到常数变易法的思路。在求解一阶线性微分方程的过程中，根据“任何一个未知函数总可以表示为一个已知的恒不为零的函数和一个待定函数之积”，自然地得到了常数变易法。关键词：线性方程；常数变易法；通解doi：10．3969／j．issn．2095—5642．2014．07．122中图分

2、类号：0175文献标志码：A文章编号：2095．5642(2014)07_0122旬3一、引言线性微分方程可以说是大家最熟悉的一类微分方程。讨论线性微分方程的文章也很多。例如，文[1]借助于因变量代换，得到了三阶变系数线性微分方程的若干新的可积类型。文[2]给出一类二阶变系数线性微分方程的通解公式。文[3]将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程，从而求得它们的通解。文[4]探讨了一阶线性自治非齐次微分方程组的特解，以及一阶线性齐次微分方程组的基本解组的求解问题，并提出新的特殊解法，从而得到其通解。文[5]介绍了一阶线性微分方程及一阶线性微分方程组的解法。上述文献(以及其他许多文献)，

3、都是从科研角度出发，主要讨论一些特定类型的线性微分方程的解法。而本文从教学角度出发，主要讨论导出求解一阶线性微分方程的常数变易法的思路。这样做，有利于引导学生的思考，培养他们的自学能力。二、求解一阶线性非齐次微分方程(1)的几种基本方法我们称，，7+p(戈)y=八戈)(1)为一阶线性非齐次微分方程，其中．p(z)以戈)是闭区间[口，6]上的连续函数，称y’+p(石))，=0(2)为(与(1)对应的)一阶线性齐次微分方程。我们求解方程(1)，通常有三种方法。一种是积分因子法。先将方程(1)改写为方程咖+p(并)y如=八菇)如(3)一般而言，微分方程(3)不是恰当微分方程。但是，对微分(3)的两边

4、同时乘以非零因子弘(茗)=P弘)出后，得到的新方程e弘’出咖+e弘’如p(z)y如=e批’杈戈)以(4)却是一个恰当微分方程。因为它可以被改写成d(eJ出№)，)=d(JeJ出’杈戈)出)，两边积分即得e弘’如y=叫9。’杈戈)如+c(5)解出y即得微分方程(1)的通解扣1y=ce一弘’也+e一弘’出陟。’杈戈)如(6)求解方程(1)的另一种方法叫做常数变易法。我们通常是先求出它所对应的齐次方程(2)的通解。这是容易的。因为方程(2)是变量可分离方程，其通解为y：ce—p(#)如(7)其中C为任意常数。然后，设y=C(菇)P—Jp¨’出(8)为方程(1)的解，解得c(菇)=k戈)e弘)如如+c

5、，将C(戈)代回(8)即得方程(1)的通解【7o(6)。t收稿日期：2013—11—15作者简介：魏明彬(1956一)，男，四川成都人，副教授，研究方向：动力系统和生物数学的研究。122万方数据第30卷(总第257期)魏明彬：一阶线性微分方程的几种解法和思路分析还有一种解法，即在介绍方程(1)的解法之前，先介绍方程(1)的一个基本性质：若y。(戈)是方程(1)的一个特解，则y=％(戈)+Ce一胪冲就是方程(1)的通解哺j。这样，我们就把求方程(1)的通解问题转化为求方程(1)的一个特解的问题。而求方程(1)的特解，最终还是用常数变易法。三、三种解法的特点和难点分析使用积分因子法求解方程(1)，

6、事先不需要求出与方程(1)对应的方程(2)的通解，也不需要在求解之前先引入方程(1)的通解和特解之间的任何关系或性质，可谓简洁。但是使用这种方法，要求教师在教学过程中先讲述恰当微分方程和积分因子的内容，而这一部分内容通常比一阶线性微分方程的内容要难一些，所以，根据先易后难的一般原则，一般的常微分方程教材通常都是先讲述一阶线性微分方程的解法，后讲述恰当微分方程和积分因子的解法。这样，在求解方程(1)时，因为学生还没有学过恰当微分方程和积分因子法，自然就用不上积分因子法了。另外，寻找一个微分方程的积分因子，其技巧性较高，难度较大，这也使得用积分因子法求解方程(1)比较困难，初学者很难想到方程(1)

7、有积分因子肛(x)=e『p(舳。常数变易法因将常数C变为待定函数C(z)而得名。这种解法，比积分因子法简单，学生容易理解和掌握但是如何想到把常数C变为待定函数c(x)，一般书上都讲得不是很清楚。对于第三种解法，虽然有额外收获，但学生们会感到很突然。因为事前根本想不到去讨论方程(1)的通解和特解的关系，更想不到方程(1)有这样一个性质。通过上面的分析，我们看到，上述几种解法，在思路上都没有讲得很清楚