2012年初三数学培优试卷

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1、24．（浙江省慈溪中学保送生招生考试）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，1），且对于任意的实数x，有4x－4≤ax2＋bx＋c≤2x2－4x＋4恒成立．（1）求4a＋2b＋c的值．（2）求y＝ax2＋bx＋c的解析式．（3）设点M（x，y）是抛物线上任一点，点B（0，2），求线段MB的长度的最小值．24．解：（1）令＝2，则4×2－4≤4a＋2b＋c≤2×22－4×2＋4即4≤4a＋2b＋c≤4∴4a＋2b＋c＝4．4分（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，1）∴a－b＋c＝1．5分又∵4a＋2b＋c＝4∴b＝

2、1－a，c＝2－2a．7分由ax2＋bx＋c≥4x－4恒成立得ax2－(a＋3)x＋6－2a≥0恒成立8分∴(a＋3)2－4a(6－2a)≤09分即(a－1)2≤0又∵(a－1)2≥0，∴(a－1)2＝0．∴a＝1．10分∴b＝0，c＝0．∴y＝ax2＋bx＋c的解析式为y＝x211分（3）∵点M（x，y）是抛物线上任一点，∴M（x，x2）．∴MB2＝x2＋(x2－2)2＝(x2－)2＋14分当＝，即＝时，MB2有最小值，即MB有最小值．∴线段MB的长度的最小值为．16分210．（福建省福州市）如图，已知直线l：y＝－x＋m（m≠0

3、）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC＝2CA，AM＝2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，显然点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将△ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的反比例函数图象为C1，过点M且以B为顶点的二次函数图象为C2，过点P且以M为顶点的二次函数图象为C3．（1）当m＝6时，①直接写出点M、F的坐标；②求C1、C2的函数解析式；（2）当m发生变化时，①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由；②若C2、C3中

4、的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围．ACMOEFlyNBx210．解：（1）①点M的坐标为(2，4)，点F的坐标为(－2，8)．2分②设C1的函数解析式为y＝(k≠0)EACMOFlyNBxPG∵C1过点F(－2，8)，∴－＝8，∴k＝－16∴C1的函数解析式为y＝－．4分∵C2的顶点B坐标为(0，6)∴设C2的函数解析式为y＝ax2＋6∵C2过点M(2，4)，∴4a＋6＝4，∴a＝－∴C2的函数解析式为y＝－x2＋6．6分（2）依题意得M(m，0)，B(0，m)∴点M坐标为(m，m)，点F坐标为(－m，m)①设C1的函数解

5、析式为y＝(k≠0)∵C1过点F(－m，m)，∴k＝(－m)·m＝－m2∵m≠0，∴k＜0∴在C1的每一支上，y随着x的增大而增大．10分②答：当m＞0时，满足题意的x的取值范围为0＜x＜m当m＜0时，满足题意的x的取值范围为m＜x＜0．14分(注：答案中的x取到端点值不扣分)217．（福建省厦门市）已知二次函数y＝x2－x＋c．（1）若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；（2）若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，m)(m＞0)在抛物线y＝x2－x＋c上，且D、E

6、两点关于坐标原点成中心对称，连接OP，当≤PO≤＋2时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋的交点个数，并说明理由．217．解：（1）方法一：由题意得1分解得2分方法二：∵抛物线y＝x2－x＋c的对称轴为直线x＝，且－(－1)＝2－∴A、B两点关于对称轴对称∴n＝2n－1．1分∴n＝1，c＝－1．2分∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1．3分即y＝(x－)2－∴二次函数y＝x2－x－1的最小值为－．4分（2）∵点P(m，m)(m＞0)，∴PO＝m由题意≤m≤＋2∴2≤m≤＋1．5分方法一：∵点P(m，m)(m＞0)在抛物线y＝x2

7、－x＋c上∴m＝m2－m＋c，∴c＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1∴抛物线c＝－m2＋2m开口向下，且对称轴为直线m＝1∴当2≤m≤＋1时，－1≤c≤0．6分方法二：∵2≤m≤＋1，∴1≤m－1≤∴1≤(m－1)2≤2∵点P(m，m)(m＞0)在抛物线y＝x2－x＋c上∴m＝m2－m＋c，∴1－c＝(m－1)2，∴1≤1－c≤2∴－1≤c≤0．6分∵D、E两点关于坐标原点成中心对称方法一：∴x2＝－x1，y2＝－y1∴∴2y1＝－2x1，∴y1＝－x1∵直线DE经过坐标原点，∴设直线DE的解析式为y＝kx则－x1＝kx1由题意，存

8、在x1≠x2存在x1，使x1≠0．7分∴k＝－1∴直线DE的解析式为y＝－x．8分方法二：设直线DE的解析式为y＝kx由题意得kx＝x2－x＋c，即x2－(k＋1)x＋c＝0∵－1≤c≤0，∴(k＋1)2－4c≥0∴方程x2－(k＋1