《1.5.2 定积分》教学案

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1、《1.5.2定积分》教学案教学目标(1)定积分的定义(2)利用定积分的定义求函数的积分，掌握步骤(3)定积分的几何意义(4)会用定积分表示阴影部分的面积教学重点难点定积分的定义是本节的重点，定积分的几何意义的应用是本节的难点。教学过程一、创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限(逼近2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．情境导入：1.曲边梯形面积问题；2.变力作功问题；3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积

2、分。由此我们可以给定积分的定义。二、数学建构1．定积分的概念一般地，设函数在区间上有定义，将区间等分为个小区间，每个小区间的长度为()，在每个小区间上取一点，依次为。作和，如果无限趋近于0(亦即趋向于时，无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为其中，为被积函数，称为积分函数，称为积分下限，称为积分上限。说明：(1)定积分是一个常数，即无限趋近的常数(时)称为，不是(2)用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：(3)曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功【举例说明】1、由曲线y=x2+1与直线x=1，x

3、=3及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为____________.()2、中，积分上限是___，，积分下限是___，积分区间是______。(2、-2、[-2，2])3、定积分=__________.4、定积分=__________.8说明：定积分数值只与被积函数及积分区间[a，b]有关，与积分变量记号无关。思考:函数在区间[a，b]上的定积分能否为负的？定积分定积分2．定积分的几何意义如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线()，和曲线所围成的曲边梯形的面积。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和

4、，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积(即轴上方面积减轴下方的面积)三、数学应用12yxo例1．计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。即：思考：若改为计算定积分呢？例2．根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？四、回顾总结1．定积分的实质：特殊和式的逼近值．2．定积分的思想和方法：分割(化整为零：取近似)、求和(积零为整)、取逼近(得精确值)。3。定积分的几何意义及简单应用。