双曲线的定义的应用

《双曲线的定义的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1双曲线的定义的应用2双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2距离之差的绝对值是常数2a(

2、F1F2

3、>2a)的点的轨迹。本定义中如果去掉“绝对值”三字，则符合条件的点的轨迹就是双曲线的一支。本定义中如果这个常数2a等于两定点的距离2c，则符合条件的点的轨迹就是以这两定点F1、F2为端点的向外的两条射线。本定义中如果常数2a大于两定点的距离2c，则符合条件的点的轨迹不存在。第一定义3双曲线的定义平面内到一个定点与到一条定直线的距离的比是一个大于1的常数的点的点本定义中的定点，不能在定义中的定直线上，否则符合条件的点的轨迹就不存在。本定义中的两个

4、距离的比是到点的距离作分子，到线的距离作分母。本定义中的距离比是大于1，若小于1表示椭圆，若等于1，其轨迹是抛物线。第二定义4定义小结双曲线的两种定义，第一定义体现了“质的区别”，第二定义体现了“形”的统一，两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性双曲线的定义是双曲线这一节的基础，对这一定义有必要深刻第理解与把握，在此探讨双曲线定义的综合应用5一、在求轨迹方程中的应用例1：若动圆过定点A(-3，0)，且和定圆B：(x-3)2+y2=4外切，求动圆圆心P的轨迹方程。分析：由已知条件，动圆圆心到点A的距离是这个动圆的半径（一个变量），到

5、已知定圆圆心的距离是两圆的半径和（一个变量与一个常量的和），由此可见，这两距离的差是一个常数，基本符合双曲线的定义，可从定义入手解决这个问题。6解设动圆半径为r，则动圆圆心P到点A的距离为

6、PA

7、=r到定圆圆心B的距离为

8、PB

9、=2+r(两圆外切)所以：

10、PB

11、-

12、PA

13、=2∵P到B点距离大于到A点距离

14、AB

15、=6>2∴点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的左支(

16、PB

17、>

18、PA

19、)∵2a=2，2c=6∴b2=8，a2=1根据双曲线的定义，写出动圆圆心的轨迹方程为：7一、在求轨迹方程中的应用例2：如图2，F1、F2为双曲线的两焦点，P为其上一

20、动点，从F1向∠F1PF2的平分线作垂线，垂足为M，求M点的轨迹方程。解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则：

21、PF1

22、=

23、PN

24、=

25、PF2

26、+

27、F2N

28、即:

29、F2N

30、=

31、PF1

32、-

33、PF2

34、=2a在△F1NF2中，

35、OM

36、=

37、F2N

38、=a故点M的轨迹方程为x2＋y2＝a28二、利用定义判定某些位置关系例3：设C是经过双曲线的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？解：如图：分别过A、B及圆心作双曲线右准线l1的垂线，垂足分别为A’,B’,M’,则：（其中e为

39、双曲线的离心率，R为圆的半径）故有两个交点910三、利用定义求最值例4：如图，F1、F2是双曲线的左右交点，M(6,6)为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的点，求：分析(1)：和式“

40、PM

41、+

42、PF2

43、”与双曲线第一定义区别，是否可设法转为“差”呢？分析(2)：关键在于处理1/2

44、PF2

45、的系数，于是联想到e＝2，可用第二定义转化。1.

46、PM

47、＋

48、PF2

49、的最小值2.

50、PM

51、＋

52、PF2

53、的最小值11略解作MN⊥l于N点∴

54、PM

55、+PH

56、≥MN而右准线为l：x＝12四、利用定义解决实际应用问题例5：如图：某村在P处有一个肥堆，今要把这堆肥沿道

57、路PA或PB送到农田ABCD(为矩形)中去，若PA＝100米，PB＝150米，BC＝60米，∠APB＝60°，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧沿道路PB送肥较近，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出此曲线方程。PADCB13分析：这是一个圆锥曲线的应用问题，根据问题的条件直观的分析，在点A附近的点从PA方向运肥较近，在点B附近的点从PB方向运肥较近，所以说在平面上一定存在一条曲线，使曲线上任意一点从两个不同方向运肥路途相同。14解设矩形ABCD中有一曲线，在此曲线上的任意一点M，从两个不同方向运肥路途相同

58、，即：

59、MA

60、+

61、PA

62、=

63、MB

64、+

65、PB

66、∵

67、PB

68、-

69、PA

70、=50∴

71、MA-

72、MB

73、=

74、PB

75、-

76、PA

77、=50为一个定值故点M的轨迹是以点A、B为焦点，实轴长为50的双曲线的右支在矩形ABCD中的部分：∴b2＝3750设AB所在直线为x轴，其中垂线为y轴，建立坐标系，故所求方程为：15作业1.动圆经过点A(4,0)，且与定圆(x＋4)2+y2=16内切，求动圆的圆心轨迹方程。2.已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，若在双曲线的左支上有一点P，使

78、PF1

79、是点P到直线l的距离d与

80、PF2

81、的比例中项，求双曲线离心率e的取值范围

82、。16再见！7/13/202117