高等数学 7-4数量积 向量积 混合积

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1、章节题目第四节数量积向量积混合积内容提要向量的数量积向量的向量积向量的混合积重点分析数量积的定义及运算法则向量积的定义及运算法则难点分析向量的数量积、向量积的运算习题布置：1（1）、3、6、7、8、10备注8教学内容一、两向量的数量积实例一物体在常力作用下沿直线从点移动到点，以表示位移，则力所作的功为(其中为与的夹角)启示两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义向量与的数量积为(其中为与的夹角)结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.关于数量积的说明：证证数量积符合下列运算规律：8（1）交换律：（2）分配律：（3）若为

2、数：若、为数：设数量积的坐标表达式(两向量夹角余弦的坐标表示式)由此可知两向量垂直的充要条件为例1已知，，求（1）；（2）与的夹角；（3）在上的投影.解8例2证明向量与向量垂直.证二、两向量的向量积实例设为一根杠杆的支点，有一力作用于这杠杆上点处．力与的夹角为，力对支点的力矩是一向量.它的模的方向垂直于与所决定的平面,指向符合右手系.定义向量与的向量积为(其中为与的夹角)的方向既垂直于，又垂直于，指向符合右手系.向量积也称为“叉积”、“外积”.关于向量积的说明：证8向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若为数：设(向量积的坐标表达式)向量积还可用三阶行列式表示由上式可推出、、不

3、能同时为零，但允许两个为零，例如，补充表示以和为邻边的平行四边形的面积.8例3求与，都垂直的单位向量.解例4在顶点为、和的三角形中，求边上的高.解三角形ABC的面积为S=例5设向量两两垂直，符合右手规则，且，，，计算.解]8依题意知与同向，三、向量的混合积定义设已知三个向量、、，数量称为这三个向量的混合积，记为.设(混合积的坐标表达式)关于混合积的说明：（1）向量混合积的几何意义：向量的混合积是这样的一个数，它的绝对值表示以向量、、为棱的平行六面体的体积.（3）三向量、、共面例6已知，计算.解8例7已知空间内不在一平面上的四点、、、,求四面体的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量、

4、、为棱的平行六面体的体积的六分之一式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.四、小结向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）向量的混合积（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）思考题已知向量，，证明.思考题解答8