判断函数单调性通法

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1、判断函数单调性通法055350河北隆尧一中焦景会13085848802lyjjh888@126.com函数的单调性是函数的一个重要性质，，几乎是高考必考内容，如判断或证明函数单调性，求单调区间、利用单调性求变量取值范围、利用单调性解不等式等常以不同的形式出现在高考题中。一、重点知识归纳1、单调函数及单调区间i)增函数：对任意，，则f(x)为[a,b]的增函数。f(x)在[a,b]上的图像从左向右看，逐渐上升。ii)减函数：对任意,则f(x)为[a,b]的减函数。f(x)在[a,b]上的图像从左向右看，逐渐下降。所学过的函数中

2、，在其整个定义域内，可能只有一个单调区间，也可能有多个单调区间，所以，说函数的单调性时，要指明函数单调性体现在哪个区间上。2、函数单调性的证明方法i)定义法，其步骤为三步：a.任取且；b.求差；c.判断符号，得结论。ii)熟练掌握增减函数的意义，注意定义的等价形式：设，那么a.在[a,b]上是增函数；在[a,b]上是减函数。b.在[a,b]上是增函数；在[a,b]上是减函数。3、复合函数单调性判断i)若函数y=f(u)在[a,b]上增(减)，u=g(x)在[c,d]上增，且当时，,则y=f[g(x)]在[c,d]上增（减）。

3、ii)若函数y=f(u)在[a,b]上增(减)，u=g(x)在[c,d]上减，且当时，,则y=f[g(x)]在[c,d]上减（增）。4、在理解函数单调性的定义时，要注意以下三点：i)单调性与区间紧密相关，一个函数在不同的区间上可能有不同的单调性；ii)单调性是函数在某一区间上的整体性质，因此定义中的具有任意性，不能用特殊值替代；iii)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间不等关系可以“正逆互推”。二、典型例题讲解1、函数单调性的判断举例例1、讨论函数的单调性

4、。分析：利用定义法解析；先讨论函数在上单调性。设，则。当时，，，即，故f(x)在上是减函数。当时，，，故f(x)在上是增函数。同理可得，f(x)在上是增函数，在上是减函数。所以函数在和上是增函数，在和上是减函数。点评：定义法在判断、证明或讨论函数的单调性时经常用到，是最基本的方法。例1、讨论函数的单调性（1）；（2）。解：（1）易知函数定义域为。令，，则原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数。而在时是减函数，，在时是减函数，在时是增函数。又，即，则；，得。由下表讨论复合函数的单调性：函数单调性↘↘↘

5、↗↗↘可见，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。点评：复合函数的单调性的讨论用列表法求解，十分方便且非常有效。（2）设，其图象如右图，观察图知，函数u的递增区间为和，-3O4xu递减区间为和，而是减函数，故函数的递减区间为和，递增区间为和。评注；根据函数图象，利用数形结合方法讨论函数单调性，是一种简洁有效的方法。2、单调性的应用举例例1、设是定义在[-1,1]上的函数，对于任意的,都有成立；且对于任意，当时，都有成立。（1）比较与的大小；（2）解不等式。分析：函数单调性是比较大小和解不等式的依据。解：由或者或者,故f(x

6、)在[-1,1]上单调递减，所以<。（2）等价于。三、方法技巧总结1、判断函数单调性的常用方法：（1）定义法；（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；（3）互为反函数的的两个函数有相同的单调性；（4）如果f(x)在区间D上是增（减）函数那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数；（5）复合函数的单调性的判断遵循同增异减法则。2、在研究函数单调性时，常常先把函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。所以，掌握并熟记反比例函数、一次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短判断过程。3、利用函数的单调性可将函数值之间的

7、大小关系转化为自变量间的关系。四、链接练习1、已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上（）A.至少有一实根；B.至多有一实根；C.没有实根；D.必有唯一的实根。2、已知在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.3、定义在R上的函数f(x)满足，当m>0时，f(x+m)

8、f(x)+f(y),f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-2)<3.5、已知函数在上是增函数，求实数a的取值范围。6、已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14，求a的值。参考答案1、D依据单调性知，只有一个自变量x使得f(x)=0。2、B设u=2-ax,是减函数。又，所以是增函数。又u