判断函数的单调性y

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1、判断函数的单调性y=1/x的平方-2x-3设x^2-2x-3=t令x^2-2x-3=0x=3或x=-1当x>3和x<-1时，t>0当-10时，x>3时，t是增函数，1/t是减函数，所以（3，正无穷）是减区间而x<-1时，t是减函数，所以1/t是增函数，因此（负无穷，-1）是增区间当x<0时，-1

2、，3）是减区间综上，得到增区间是（负无穷，-1）和（-1，1）是增区间（1，3）和（3，正无穷）是减区间例1.已知，求的值。解：已知条件可化为设，则而在R上是增函数则有，即所以点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。拓展练习：已知方程的根为α，方程的根为β，求α+β的值。（答案：）二.妙解方程例2.解方程解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为而（因为）在R上是减函数，同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知：当时，当时，这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。拓展训练：解

3、方程。（答：）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三.妙求函数的值域例3.求函数的值域。解：令，则因为，所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。四.巧解不等式例4.解不等式解：设原不等式可化为则，即设显然是R上的减函数，且，那么不等式即因此有，解得点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练：解不等式。（答：）五.巧证不等式例5.设，求

4、证。证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。设因为在上单调递增所以与必同号，或同为0（当且仅当时）从而因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展：令，则。六.巧解恒成立问题例6.已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。解：依题意，对上任意x的值恒成立整理为对上任意x的值恒成立。设，只需而在上是增函数则所以1989年高考）已知，如果，那么（）A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，

5、0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数解：函数是由和复合而成的。又在上递减，在上递增；上为减函数，在上为增函数。当时，得当时，得或由此可得，函数在或时为减函数函数在或时，为增函数故选（A）解题回顾：本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若与同是增（减）函数，则在其定义域上是增函数；若是一增一减函数，则在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。二.利用函数的图象求解例2.指出函数的单调区间。解：作出函

6、数的图象。根据图象可得，函数在以及上为增函数；在以及上为减函数图1三.利用函数单调性的定义例3.求函数在上的单调区间。解：任取，则因为所以若函数为增函数，则所以因为所以，故同理，若为减函数，则因此，当时，函数为增函数当时，函数为减函数解题回顾：从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调性的定义出发，把求字母a的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的最值问题。