抽象函数单调性的判断

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1、www.MathsChina.com彰显数学魅力！演绎华软传奇！抽象函数单调性的判断　　例１　已知函数对任意实数，均有．且当＞０时，＞０，试判断的单调性，并说明理由.　　解析：根据题目所给条件，原型函数为＝，（＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设，且，则－＞０，故　＞０．　　∴　－＝－　　　　　　　＝＋－　　　　　　　＝＞０．　　∴＜．　故在（－，＋）上为增函数．例２　已知函数在上是奇函数，而且在上为增函数，证明在上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为，而奇函数这个条件正是转化的媒介．　　　设，且，　为奇函数，，．　　　由假设可知，即，

2、且，　　　由于在上是增函数，　　　于是有，即，从而，　　　在上是增函数．例３　已知函数对于任意正数，都有＝·,且≠0,当＞1时,＜1．试判断在（０，＋）上的单调性，并说明理由．学数学用专页第6页共6页教数学用华软www.MathsChina.com彰显数学魅力！演绎华软传奇！　　解析：此函数的原型函数可以为．显然此函数在（０，＋）上是减函数．　　对于（０，＋）有＝　　又≠０，　　∴＞０　　设，（０，＋），且＜．则　＜１，　　∴　＞，　故在（０，＋）上为减函数．　　一般形式为y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域

3、、值域等。　　山武补充：　　1抽象函数常常与周期函数结合，如：　　f(x)=-f(x+2)　　f(x)=f(x+4)　　2解抽象函数题，通常要用赋值法，而且高考数学中，常常要先求F（0）F（1）　　抽象函数的经典题目！！！　　我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正

4、确率低，本文就这类问题的解法谈一点粗浅的看法。　　一．特殊值法:在处理选择题时有意想不到的效果。　　例1定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，当x<0时，,f(x)>0，则函数f(x)在[a,b]上()　　A有最小值f(a)B有最大值f(b)C有最小值f(b)D有最大值f()　　分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f(x)=kx(k≠0)，,,，可抽象为f(x+y)=f(x)+f(y)，与此类似的还有　　特殊函数抽象函数　　f(x)=xf(xy)=f(x)f(y)　　f(x)=　　f(x

5、+y)=f(x)f(y)学数学用专页第6页共6页教数学用华软www.MathsChina.com彰显数学魅力！演绎华软传奇！　　f(x)=　　f(xy)=f(x)+f(y)　　f(x)=tanxf(x+y)=　　此题作为选择题可采用特殊值函数f(x)=kx(k≠0)　　∵当x<0时f(x)>0即kx>0。.∴k<0，可得f(x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。　　二．赋值法．根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而来解决问题。　　例2除了用刚才的方法外,也可采用赋值法　　解:令y=-x，则由f(x+y)=f(

6、x)+f(y)(x，y∈R)得f(0)=f(x)+f(-x)…..①,　　再令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)得f(0)=0，代入①式得f(-x)=-f(x)。　　得f(x)是一个奇函数，再令，且。　　∵x<0，f(x)>0，而∴，则得，　　即f(x)在R上是一个减函数，可得f(x)在[a,b]上有最小值f(b)。　　例3已知函数y=f(x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(),　　试判断f(x)的奇偶性。　　解：令=-1，=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)……①为了求f(-1)的值，令=1，=-1，则f(

7、-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得　　f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。　　三．利用函数的图象性质来解题：　　抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。　　抽象函数解题时常要用到以下结论：　　定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=对称。　　定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，周期为a-b。　　例4f(x)

8、是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。　　分析：由f(x)=f(2-x)，得f(x)的图