抽象函数的单调性

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1、抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。一类：一次函数型函数满足：或例1、对任意都有：，当，判断在R上的单调性。例2、f(x)对任意实数x与y都有,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3)<3【专练】：1、已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y∈R都有，且当(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3

2、-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．4二类：对数函数型函数满足：或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3)=-1.(1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x)+f(2-x)<2。例2、定义在上函数对任意的正数均有：，且当时，,（I）求的值;（II）判断的单调性,【专练】：1、定义在上的函数f(x)对任意的正实数有且当时，.求:(1)的值.(2)若,解不等式；2、函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1

3、）求证：是偶函数；（2）在上是增函数（3）解不等式3、设是定义在上的函数，对任意，满足且当时，。4（1）求证：；（2）若，解不等式三类：指数函数型函数满足：或例1、定义在R上的函数，满足当时，且对任意有又知（1）求的值；（2）求证：对任意都有；（3）解不等式；【专练】：1、定义在上的函数对任意的都有，且当时，，（I）证明：都有；（II）求证：在上为减函数；（III）解不等式f(x)·f(2x-x2)>1。2、若非零函数对任意实数均有，且当时，；（1）求证：；（2）求证：为减函数（3）当时，解不等式；四类：幂函数型函数满足：或例1、已知函数满足：①对任意

4、，都有，②时，。（I）判断的奇偶性，（II）判断在上的单调性，并证明。（III）若，且，求的取值范围。五类：其他类数函数型例1、定义在上的奇函数有,且当时,总有:,4（I）证明:在上为增函数,(II)解不等式:,(III)若对所有,恒成立,求实数的取值范围.例2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有，（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；【专练】：1、已知定义在上的奇函数满足：①；②对任意的，均有；③对任意的，均有；（1）试求的值；（2）求证：在上是单调递增；（3）已知对任意的，不等式恒成立，求的取值范围，2、已知函数f（x）的定义域为{

5、x

6、x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（xy）=成立，且f（a）=1（a为正常数），当00．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．3、已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，总有．（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．4