复合函数及抽象函数的单调性

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1、复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a

2、函数，所以g(x1)

3、a,b)内任取两个数x1,x2,使ag(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)

4、复合函数是减函数。“同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0

5、解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t=－x2+2①y=f(t)=－t2+2t+8②【解】设t=－x2+2①y=－t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1，把t=1代入①，得x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是x3=0，于是三个关节点把数轴分成四个区间：，，，(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增，故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间；(2)x∈(-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2]，而t∈(1,2]时，函数②递减，故(

6、-1,0]是g(x)的单调减区间；(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2]，而t∈(1,2],函数②也递减，故(0,1]是g(x)的单调增区间；（4）x∈(1，+∞)时，函数①递减，且t∈(－∞，1)而t∈(－∞，1)时，函数②递增，故(1，+∞)是g(x)的单调减区间．综上知，所求g(x)的增区间是和例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)

7、上是增函数，问在区间(0，+∞）上f(x)是增函数还是减函数？(0

8、的结论；若例6:已知(1)判断复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数）