函数单调性的判断

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1、一、函数单调性的判断1、引导学生观察下列图象指出如果函数/(兀)在区间[Q,切上单调增加，那么曲线f(x)(xE[a,b])在每一点的切线的斜率都是非负的；反之，如果可导函数是单调减少的，那么曲线在各点的切线斜率都是非正的.2、指出函数在一个区间上的单调性，可以用它的导数的符号来确定，并给出如下定理：定理1(函数单调性的判别法人已知函数兀力在区间[⑦切上连续，在⑺上)内可导，则(1)如果在XG(a9b)，恒有fx)>0,则/(x)在(Q,b)内单调增加;(2)如果在XG(€?,/?),恒有fx)<0,则于(兀)在⑺劝内单调减少。例1、确定函数/(%)=2x3+

2、3%2-12x+7的单调区间。例2、判断函数/(x)=%3的单调性。例3、确定函数y=^的单调区间。解：(1)函数的定义域为(—,+00)；(2)y=—x3=,当x=0吋，不存在；33•奴(3)(一8,0),y<0；(0,+oo),)/>0；所以，函数y=在(一8,0)内单调减少，在(0,+oo)内是单调增加的。求函数/(劝的单调区间的步骤如下:（1）确定函数的定义域（2）求fx）,求出f（x）=0的点和导数不存在的点。（3）用步骤（2）中求出的使导数等于零的点和导数不存在的点将定义域划分为若干和子区间，判断每个部分区间内广（劝的符号，并以列表的形式判断每个部分

3、区间内函数的单调性。例4、证明对任意班兀H0）,不等式/＞l+x恒成立。二、函数的极值1、极值的定义定义1设函数/（x）在点兀°的某邻域内有定义，若对该邻域内每一点兀（心兀）），（1）恒有/（%）＜/（Xo）,则称.fOo）是/（x）的一个极大值，并称兀0是于（兀）的一个极大值点。（2）恒有/（x）＞/（x0）,则称/•（兀（））是/⑴的一个极小值,并称兀是/（兀）的一个极小值点。函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。说明：（1）函数的极大值和极小值是局部性的概念，如果/（兀。）是函数/（兀）的极大值（或极小值），只是就兀。邻近的一个局部

4、范围内来说，/•（兀°）是最大的（最小的）,而对于函数/（兀）的整个定义域来说就不一定是最大的（最小的）了。（2）函数的极值只能在定义域内部取得。函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值，如函数）‘=兀在区间［1,2］内既无极大值，也无极小值。（3）极小值可以大于极大值2、极值的判别法（-）极值存在的必要条件（费马定理）定理2如果函数y=/（x）在点兀处可导,且在点如处取得极值,则/Vo）=O费马定理的几何意义：若函数/'（兀）在极值点x=可导，那么在该点的切线平行于x轴。定义2使函数的导数为零的点称为函数的驻点（或稳定点）。注:（1）可导函数的极值点必定是它的

5、驻点，但驻点却不一定是极值点（例因此，函数在点X。的导数等于零是函数在该点取极值的必要而非充分条件。(2)函数在导数不存在的点也可能取得极值。(例：函数j=

6、x

7、在x=0点的导数不存在，但在该点处有极小值,/(0)=0；而函数/(x)=X3在x=0也不可导,但在该点处没有极值。)综上，函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点取得。因此，若要求函数的极值，首先要找出函数的所有驻点和一阶导数不存在的点，然后再判别这些点中哪些是极值点。(二)、判别极值的第一充分条件定理3(判别极值的第一充分条件)设函数>=/(尢)在观的某邻域(兀。-》矶+刃内连续口可导(在无处可以不可导

8、)，则(1)xg(x0-^,x0)>0代(兀0，勺+5)f(x)<0则函数y=/(x)在兀处取得极大值。如图1(2)XG(xo-^,X0)/'(x)vO(x0,x0+J)fx)>0则函数y=/(x)在勺处取得极小值。如图2(1)XG(心一5,兀)xe(x0,x0+J)/⑷同匸则函数y=/(x)在兀()处无极值。如图3(三)求函数的极值点与极值的步骤(1)确定函数/(兀)的定义域;(2)求出广(兀),求出/(兀)的驻点与不可导点;(3)用步骤(2)中求出的驻点与不可导点将函数的定义域划分为若干个子区间,确定厂(X)在各个子区间的符号，从而确定函数的极值点与极值。例

9、4、求函数y=2?-6x2-18x-7的极值解：(1)函数的定义域为(-oo,+oo)；(2)y'=6兀$—12兀一18=6(兀一3)(兀+1),令y=0,得驻点％］=—1丸2=3(2)用x,=-U2=3将定义域划分为三个区间，列表讨论如下：X(-叫-1)・1(-1.3)(3,+oo)/y/所以，函数有极大值/(-1)=3,有极小值/(3)=-61o例5、求函数/(x)=(2x-5)V?的极值。小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，必须按第一充分条件进行判别。(二)判别极值的第二充分条件定理4(判别极值的第二充分条件)设函数y=/(x)在点a•。具

10、有二阶导数