判断函数单调性常用方法

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1、判断函数单调性的常用方法一、定义法设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：⑴f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；⑵f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(

2、减)函数；⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法.对于复合函数y＝f[g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令t＝g(x)，则三个函数y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性

3、；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.四、求导法导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点求函数值域的常用方法1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞,1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,

4、值域[-7,＋∞）3.换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√(x-1)+2令t=√(x-1),则t≤0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞,1].4.不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1),(01/(e-1),y=1+2/(e^x-

5、1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5.最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6.反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7.单调性法若f(x)在定义域[a,b]上是增函数,则值域为[f(a),f(b)].减函数则值域为[f(b),f(a)].8.数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.