毕业论文--减轻解析几何运算量的若干方法

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1、减轻解析几何运算量的若干方法作者：费本林指导教师：刘玉芳摘要：解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科。在直角坐标系中，用方程观点研究曲线，如果方法选择不当，往往会导致计算量过大或讨论繁杂，使学生望而生畏。设而不求，整体代换；利用图形的几何性质；合理引进参数；巧用定义等等都是减少计算量的有效方法。文章要求重点突出，论证严谨，举例充分.关键词：解析几何解析几何运算量减轻解析几何运算量1.引言中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，以至于被迫中止解题的过程达到望

2、题兴叹的地步。特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是考察的一个重要的方面。解析几何，有目共睹，每年的大题基本上都是压轴题的形式出现，计算能力的考查倾向尤为突出。为此，我将从以下几个方面探索减轻运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程。2.解析几何及其特点解析几何是高中数学的经典内容，包括了直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程。解析几何主要有如下几个特点：一、明确解析几何的基本思想方法：解析法；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的几何性质；强调解析几何解提的程序性和普适性；自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。二、抓住轨迹问题的本质：变化过程中的不

3、变量，建立轨迹的方程。三、介绍直线、圆以及三种圆锥曲线时，进一步改进教材的呈现方式。注意引入的过程，并对过程进行分析。在过程的分析中引导学生自主探索，从分析每种曲线的典型几何特性入手，选择适当的平面直角坐标系，建立每种曲线的方程。四、在三种圆锥曲线的简单几何性质的研究中，从直观入手，用代数方法研究他们的几何性质，注意代数方法与几何直观相结合。五、加强不同知识内容的联系性，从不同角度看待同一数学内容，感受数学的整体性。六、实例丰富，注重实际背景和应用。七、重视信息技术工具的作用。八、计算量大，计算步骤繁杂。3.减轻解析几何运算量的方法本文主要从介绍几种减轻解析几何运算量的方法3.1利用图形

4、的几何性质解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例1、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。图3解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于点，切点在，，故∠=∠，从而∠=∠，、、共线。由切割线定理，（9）。又在△中，⊥，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出例2、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角△，、在圆上。求的中点M的轨迹方程。图4解：如图所示，设，连结在△中，是的中点，⊥，。在△中，。。。点的轨迹方程为。说明：这里利

5、用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。3.2利用三角形边的关系某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例2、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（《数学通报》8

6、0年第6期）分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即证：，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可图5证明：如图设双曲线方程为（），则它的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）、、、。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，，即。由于，。当直线垂直于轴时结论显然成立。说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出AD中点的坐标；而B、C两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求

7、出B、C中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。3.3设而不求，整体代换在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例3、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1）求证：

8、OP

9、2+

10、OQ

11、2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且，得（3）代入