函数恒成立问题(端点效应)

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1、标准实用文案函数恒成立专题01：可求最值型基础知识：（1）不等式在定义域内恒成立，等价于；（2）不等式在定义域内恒成立，等价于。【例1】【重庆文】若对任意的，恒成立，求的取值范围。【例2】函数在区间上恒有，求可以取到的最大整数。【变式1】函数，若恒成立，求的取值范围。【变式2】【2012新课标文】设函数Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若，为整数，且当时，，求的最大值。文档标准实用文案【变式3】【2012新课标理】已知函数满足Ⅰ求的解析式及单调区间；Ⅱ若，求的值。专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有

2、所感悟【例1】【2010天津】函数，对任意恒成立，求实数的取值范围。【变式1】【2010安徽】若不等式对一切恒成立，求的取值范围。【例2】若函数在上单调递增，求的取值范围。【变式2】【2012湖北】若在上是减函数，求的取值范围。文档标准实用文案【变式3】【2014江西】已知函数，若在区间上单调递增，求的取值范围。专题03：端点与一次函数、二次函数基础知识：（1）研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2）一次函数的恒成立很简单，

3、如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。【例1】【2009北京】若在上单调递增，求的取值范围。文档标准实用文案引申：我们的习惯思维都是默认字母为函数的自变量，而像这样的字母代表参数，但其实这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。【例2】【2009福建】已知函数的导函数为若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围。【例3】【2008天津

4、】已知函数，若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。【变式】【2008安徽】设函数，其中为实数。Ⅰ已知函数在处取得极值，求的值；Ⅱ已知对任意恒成立，求实数的取值范围。文档标准实用文案（3）对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设在上不单调且恒大于零，那么在上递减，在上递增，故的最大值也必然在端点处取得。所以对于任何一个函数而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下：①在上非正，等价于②在上非负，等价于【

5、例1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是____.【例2】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____.文档标准实用文案专题04：端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。【例1】已知函数，当时，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.【例2】【2008江苏】设函数，若对于总有恒成立，则=____.说明：在例1和例2中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例1通

6、过端点可以不必考虑单增情形，例2通过端点可以缩小的范围，我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。文档标准实用文案函数在端点处的取值有以下三种情形：（1）在区间的端点和处均有定义且（2）在区间的端点或处无定义或区间是无限区间；（3）在区间的端点或处有或。一、端点处的取值有意义且不为0【例1】【2008天津】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【例2】若在上恒成立，则实数的取值范围是________【变式1】【2013全国卷】已知函数，当时，，求的取值范围。【变式

7、2】【2012江西】已知函数在上单调递减，求的取值范围。文档标准实用文案【变式3】【2010天津】已知函数，若在区间上恒成立，求的取值范围。一、端点处的取值没有意义且趋于无穷的定义域是，且当趋于0时，趋于负无穷，当趋于时，趋于正无穷，为了后面方便表述，记。然后不管函数在区间的端点处有没有意义，也不管是否为无穷，我们均记为当趋于时的值。这样的记法为了后面的叙述。【例1】【2012新课标】当时，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【例2】函数，若对定义域内任意恒成立，求实数的取值范围。【例3】【2012天津】函数恒成立，则实数的取值范围是

8、_______.【例4】【2013新课标】设函数，若时，，求的取值范围。文档标准实用文案【例5】【2009江西】已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正，则的取值范围是______.【变式1】不等式恒成立，则实数的