函数恒成立问题(端点效应)-(3571)

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1、--函数恒成立专题01：可求最值型基础知识：（1）不等式f(x)0在定义域内恒成立，等价于fxmin0；（2）不等式f(x)0在定义域内恒成立，等价于fxmax0。【例1】【重庆文】若对任意的x0，f(x)12x4lnx3x4c2c2恒成立，求c的取值范围。【例2】函数f(x)(x1)ln(x1)kx1在区间(1,)上恒有f(x)0，求k可以取到的最大整数。【变式1】函数()2x24,()aln(0)，若f(x)4xg(x)恒成立，求a的取值fxxgxxa范围。【变式2】【2012新课标文】设函数fxexax2Ⅰ求f(x)的单调区间；

2、Ⅱ若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值。【变式3】【2012新课标理】已知函数f(x)满足f(x)f(1)ex1f(0)x1x22Ⅰ求f(x)的解析式及单调区间；Ⅱ若f(x)1x2axb，求(a1)b的值。2-----第1页共1页-----专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函数()21，对任意fxxx3,,f(x)4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，求实数m的取值范围。2m【变式1】【2010安徽】若不等式(aa2)

3、(x21)x0对一切x0,2恒成立，求a的取值范围。【例2】若函数f(x)x2ax1在1,上单调递增，求a的取值范围。x2【变式2】【2012湖北】若f(x)1x2bln(x2)在(1,)上是减函数，求b的取值范围。2【变式3】【2014江西】已知函数()(x2bxb)12(bR)，若f(x)在区间(0,1)上单fxx3调递增，求b的取值范围。----------第2页共2页-----专题03：端点与一次函数、二次函数基础知识：（1）研究发现，恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题，通过这些常见的例子，我们要把函数恒

4、成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2）一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。【例1】【2009北京】若f(x)xex(k0)在(1,1)上单调递增，求k的取值范围。引申：我们的习惯思维都是默认字母x为函数的自变量，而像a,m,t这样的字母代表参数，但其实x,a,m,t这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思维的限制而非要将x视为函数的自变量，这个方法称为“变

5、换主元法”。【例2】【2009福建】已知函数()331的导函数为f(x),g(x)f(x)ax3.若对fxxax满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，求实数x的取值范围。【例3】【2008天津】已知函数f(x)xab(x0),a,bR，若对于任意的a1,2，不x2等式f(x)10在1，4上恒成立，求b的取值范围。4【变式】【2008安徽】设函数f(x)ax33x2(a1)x1，其中a为实数。32Ⅰ已知函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；Ⅱ已知f()2xa1对任意a0,恒成立，求实数x的取值范围。xx-----第3页共3页----

6、-（3）对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设f(x)ax2bxc(a0)在，上不单调且恒大于零，那么f(x)在，b上递减，在b,上递增，故f(x)的最大值也必然在端点处2a2a取得。所以对于任何一个函数f(x)而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下：①f(x)ax2bxc(a0)在x1,x2fx10,上非正，等价于0;fx2②f(x)ax2bxc(a0)在x1,x2fx10,上非负，等价于0;fx2【

7、例1】已知函数f(x)x3ax2bxc在区间1,0上单调递减，则a2b2的取值范围是____.【例2】函数f(x)1x3mx23m2x1在区间1,2上单调递增，则实数m的取值范围是____.3-----第4页共4页-----专题04：端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。【例1】已知函数f(x)x33(a1)x26ax，当a0时，若函数f(x)在区间1,2上是单调函数，求a的取值范围.【例2】

8、【2008江苏】设函数()ax331，若对于x1,1总有f(x)0恒成立，则afxx=____.说明：在例1和例2中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例1通过端点可以不必考虑单增情形，例2通