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1、函数恒成立问题典例知识原理：设D为闭区间则(1)f(x)>0(x€£>)恒成立<=>xg£>时fmin>0(2)XGD时f(x)图象在g(x)图象的上方o/(x)>gU)(XGD)oF(x)二f(x)一g(x)>0(XGD)«XGD)时Fmin>0(3)若已知可导函数f(x)的导函数广(兀)在闭区间D上连续，贝IJf(x)在D上为增函数of(x)>0(XGD)恒成立oxwD0tf*mjn>0问题引入：已知函数F(x)=-^x3+-x2+x+1在区间[-1,1]±为增函数，求Q的取值范围。32解题思路：F(x)在区间[-1,1]±为增函数OF(x)的导函数Ff(x)>0(xg[-1,1])恒
2、成立记F(x)=/(x)=ax2+x+l,则问题化为：“XG/(x)=tzx2+X+1>0恒成立，求d的取值范围”函数的单调性是函数的重要性质，研究函数在某闭区间D上单调递增的问题常化在此区间上为其导函数值恒正(非负，个别导函数值为0不影响其单调性)的问题，最后转化为求最值的问题。类似的可讨论单调递减问题等。例1:xe[-1,1]0^,/(%)=ax2+x+1>0恒成立，求d的取值范围解:I)x=0时,/(x)=1>0恒成立，此时qwR〃)兀北0时兀2>0所以，%g[-l,0)u(0,l]/(x)>0恒成立Y-L1oai——(xg[—1,0)U(0,1])恒成立(、兀+1t/、x2-(x+
3、1)・2兀X2+2xX4XG[-l,0)[T'ig'(x)<09g(x)为减函数;Xw又g(-l)=0,g(l)=-2・•・兀w[—1,0)U(0,l])g(x)的最大值为乳和・•・满足条件Q的取值范围是。>g叭=0函数恒成立问题典例知识原理：设D为闭区间则(1)f(x)>0(x€£>)恒成立<=>xg£>时fmin>0(2)XGD时f(x)图象在g(x)图象的上方o/(x)>gU)(XGD)oF(x)二f(x)一g(x)>0(XGD)«XGD)时Fmin>0(3)若已知可导函数f(x)的导函数广(兀)在闭区间D上连续，贝IJf(x)在D上为增函数of(x)>0(XGD)恒成立oxwD0t
4、f*mjn>0问题引入：已知函数F(x)=-^x3+-x2+x+1在区间[-1,1]±为增函数，求Q的取值范围。32解题思路：F(x)在区间[-1,1]±为增函数OF(x)的导函数Ff(x)>0(xg[-1,1])恒成立记F(x)=/(x)=ax2+x+l,则问题化为：“XG/(x)=tzx2+X+1>0恒成立，求d的取值范围”函数的单调性是函数的重要性质，研究函数在某闭区间D上单调递增的问题常化在此区间上为其导函数值恒正(非负，个别导函数值为0不影响其单调性)的问题，最后转化为求最值的问题。类似的可讨论单调递减问题等。例1:xe[-1,1]0^,/(%)=ax2+x+1>0恒成立，求d的
5、取值范围解:I)x=0时,/(x)=1>0恒成立，此时qwR〃)兀北0时兀2>0所以，%g[-l,0)u(0,l]/(x)>0恒成立Y-L1oai——(xg[—1,0)U(0,1])恒成立(、兀+1t/、x2-(x+1)・2兀X2+2xX4XG[-l,0)[T'ig'(x)<09g(x)为减函数;Xw又g(-l)=0,g(l)=-2・•・兀w[—1,0)U(0,l])g(x)的最大值为乳和・•・满足条件Q的取值范围是。>g叭=0・・・q的取值范围是[0,4-0)法二:g⑴二-卑=-丄-丄，设心丄xXX则g(兀)=h(t)=-t2-t(re(―oo,—l]U[l,+9>),当r=-耐離)有最
6、大值Q恒止，求G的取值范围例2.时，f(x)=-x2+2«x+1解:/(X)>0恒成立O/(兀)的最小值几命>°/•⑴是开口向下且关于兀=。对称的二次函数，f(兀)的最小值不可能在顶点处取得.解法二兀w[-丄，丄]时,一*+2处+1>0^2ax>x2-l,xe[--9-]2222如图示,由二次函数y=xLl与直线y=2ax的
7、I象性质可知只需在X士*处直线L在抛物线上方即可所以有41—ci>4方法小结(解题反思)：含参函数恒正(或恒负或恒非负等)问题一般转化为求函数最值问题进行讨论，有时先分离变量化为a>g(x)nl避免复杂讨论，对可化为f(x)>g(x)的选择或填空题要注意数形结合法。若
8、分离变量不需要讨论冃•化为a>g(x)恒成立时g(x)为简单函数，可考虑先分离变量再化为求g(x)在所给范围内的最大值问题求解；如例1.但若分离变量需要分情况讨论而直接求f(x)的授小值较容易时应直接求解如例2o例3:兀w[-2,2]时，/(x)=x24-6ZX4-1>0恒成立，求d的取值范围解法一.•(直接转化为求二次函数在闭区间上的最值问题)/⑴是开口向上且关于X二-彳对称的二次函数，记毗[-2,2]时，于⑴的最小值
