高数竞赛题中一类积分题的解法

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1、第1卷第2期广东财经职业学院学报Vo1．1No．22002年6月JournalofGuangdongVocationalCollegeofFinanceandEconomicsJun．2002高数竞赛题中一类积分题的解法杨泳辉(广东财经职业学院，广州510420)摘要：本文就近几年国内外高等数学竞赛中出现的一类定积分计算题，给出了一种技巧性的解题方法关键词：定积分；可微中图分类号：0172．2文献标识码：A文章编号：1671—8208(2002)02—0075—03近年来，在各类大学生数学竞赛中不乏涉及到定积分计算的试题，本文在此将就一类定积分试题，归纳出一个定理，得到一种行之有效的解题

2、方法并且推而广之，同时举出相关实例．定理设(x)是闭区间[a，b]上严格递减的连续可微函数，且移(a)=b，口(b)=a；又函数f()在闭区间[a，b]上连续，则f()dx：÷f[，()一，()，(())]．证明令x=移(t)，dx=移(t)dt，由已知移(t)s0，则Jr6()dxJr口((t))(t)dt=一Jr6((t))(t)dt故f()：下1Ib[，()一，()，(())]．若函数f(x)在闭区间[a．b]上连续，只要利用变量代换x=(t)=a+b—t，可得If()dx=l，(口+b—)dx由此可以得到推论1推论1若函数f()在闭区间[a，b]上连续，则f()dx：下1Ib[，

3、()+，(口+6一)]．根据定积分的几何意义，通常把If()dx理解为闭区间[a，b]上的曲边梯形的面积，设想f()+f(口+b—)的结构比f()简单，在直观上这意味着曲边梯形与本身的“倒置”迭加后整合成更简单的图形，特别是成为一个矩形时，即f(x)+，(口+b—)=k(k为常数)，则问题将得到简化．例1计算，=；(上海交通大学高等数学竞赛试题，1983年)收稿日期：2002—04—0l75广东财经职业学院学报2002年第2期，=一2J0(sn芳)+(c眦警)～=一2J0～=一号4例2计算J=；(上海交通大学高等数学竞赛试题,1986年)解，=【+】==剞(÷+)=寺nn2例3计算定积分

4、，：Jr二2—~／I丝至：；(第48届美国大学生数学竞赛题，1987n(9一)+~／In(+3)if-)解，=fln(9-x)+fln(3+x)dx==·+从以上3例可以看出，在求定积分()的过程中，当被积函数，()的结构比较复杂时，而经过“整合’()+，(口+b—)又可得到简化，特别当其结果是一个常数时，问题就基本解决了．例4计算I=IInsinxdx；(上海交通大学高等数学竞赛试题，1991年)J0解=lira=liraI—o’I—o+x。丁·一o+贵一—-x丁=zl—irao+=。又j00—dx收敛，故广义积分j0lnsinxdx也收敛．令x=号上一t，则jr·nsnxdx=Jr·

5、nc。stdt=jr三o~lncosxdx即nxax：sinx+．ncos：n(x)(·n1+lnsin2x)d=一城．nsnu一号+nxax故snxdx：2×(一n2)：一争n2当函数，()在开区间(0，+a。)连续时，则可利用变量代换x=口(t)=_1，使得。，()=。(÷)，由此可得到推论2推论2设函数f(x)在开IXI'~(0，+a。)上连续，则。=()+1．f(1~)dx．例5，=。(a为实数)，(上海交通大学高等数学竞赛试题，1985~g)杨泳辉：高数竞赛题中一类积分题的解法解，=(l一+：：号此外，闭区间[0，a]上的连续函数厂()求定积分厂()时，还可以取变量代换x=(t

6、)=来简化问题．例6计算(n>。)[1991年上海市高等数学竞赛试题(专科)]解令x=。则，：【寿+毒譬】：、d一丌4n2由此可见，灵活运用以上定理的关键是选择恰当的变量代换x=(t)，例如令(t)：a+b—t。(f)=了1，(t)=(a>0)⋯⋯等等，就可使问题简化，从而提高解题效率，达到事半功倍的效果．参考文献[1]李重华，孙薇荣．高等数学竞赛试题精解[M]．上海：上海科学普及出版社，1996．责任编辑谢虹77