大学高数曲面积分题

《大学高数曲面积分题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二十章曲线积分§1第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分：（1），其中是以为顶点的三角形；（2），其中是以原点为圆心，为半径的右半圆周；（3），其中是椭圆在第一象限中的部分；（4），其中是单位圆周；（5），其中为螺旋线的一段；（6），其中是曲线的一段；（7），其中是与相交的圆周.解（1）；（2）右半圆的参数方程为：所以；（3）由于椭圆在第一象限中的部分可表示为243，(),从而所以；（4）由于圆的参数方程为：，所以；（5）；（6）；（7）截线为，所以.2.求曲线的质量，设其线密度为.解曲线质量为.2433.求摆线的重心，设其质量分布是均匀的.解设摆线的线密度为，由

2、于，从而其质量为，故其重心坐标为；.4.若曲线以极坐标表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（1），其中为曲线的一段；（2），其中为对数螺线在圆内的部分.解因为的参数方程为且243.所以.（1）；（2）.若记，则于是，故.5.证明：若函数在光滑曲线上连续，则存在点，使得，其中为的弧长.证由于函数在光滑曲线上连续，从而曲线积分存在，且又在上连续，为光滑曲线，所以与243在上连续，由积分中值定理知：存在，使.令，显然点，且.§2第二型曲线积分1.计算第二型曲线积分：（1），其中为本节例2中的三种情况；（2），其中为摆线沿增加方向的一段；（3），其中为圆周，依

3、逆时针方向；（4），其中为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（5），其中：从到的直线段.解（1）若积分沿抛物线：（），则；若积分沿直线：（），则.若积分沿封闭曲线，在一段上，；在一段上，；在一段上，沿从到.且243，，.因此.（2）由于，从而.（3）由于圆的参数方程为：，所以.（4）.（5）直线的参数方程为（）.2.设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比.若质点由沿椭圆移动到，求力所作的功.解椭圆的参数方程为：，而.则力所作的功243.3.设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距离成反比.若质点沿直线从沿椭圆移动到，求力所作的功

4、.解由于力的方向指向原点，故其方向余弦为其中.所以力的三个分力为.从而力所作的功.4.证明曲线积分的估计式：其中为的弧长，.利用上述不等式估计积分.并证明.证（1）因为，且，从而243（2）因为，则由（1）得则，故.5.计算沿空间曲线的第二型曲线积分：（1），其中：与相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限；（2），其中为球面在第一卦限部分的边界曲线，其方向按曲线依次经过平面部分，平面部分和平面部分.解（1）曲线的参数方程为，且从0增加到时，曲线依次经过1，2，7，8卦限，所以.（2）球面在第一卦限部分的边界曲线由三部分；；组成.而243，同理，.所以.总练习

5、题1.计算下列曲线积分：（1），其中是由和所围的闭曲线；（2），其中为双纽线；（3），其中为圆锥螺线，；（4），为以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点；（5），为抛物线，从到的一段；（6），是维维安尼曲线，，若从轴正向看去，是沿逆时针方向进行的.解（1）是由与及三部分组成.故243.（2）由于的极坐标方程为，，且.利用对称性得.（3）由于,所以.（4）由于圆的参数方程为：，且点与对应，点与对应.故；（5）.243（6）曲线的参数方程为，则.2.设为连续函数，试就如下曲线：（1）：连接的直线段；（2）：连接三点的三角形（逆时针方向），计算下列积分：.解

6、（1）连接的直线段的方程为，则；；.（2）连接的直线段的方程为，则；，.连接的直线段的方程为，则；，,243从而；,.3.设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零.（1）试证明;（2）试问在相同条件下，第二型曲线积分是否成立？为什么？证（1）证由题设存在使得，令，由连续函数的局部保号性知：存在，使得对一切，有.又由于为定义在平面曲线弧段上的恒大于零的连续函数，因此在上可积，且.（其中是的弧长）.（2）不成立.因为第二型曲线积分与平面曲线弧段的方向有关.如，沿着曲线从到，显然为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且恒大于零.但.243