合肥工大高数第10章曲线积分与曲面积分

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1、第九章曲线积分与曲面积分本章所讲的曲线积分于曲面积分都是定积分的推广9．1第一型曲线积分一．第一型曲线积分的概念和性质1．金属曲线的质量设有金属曲线L（如图9－1），L上各点的密度为二元连续函数ρ＝ρ（ｘ，ｙ），求这曲线的质量。把L分成n个小弧段：Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示这些小弧段的长度。在Δs上任取一点（ξ，η），由于线密度函数是连续的，因此当Δs很小时，Δs的质量∆m便可近似地表示为：∆m≈ρ（ξ，η）Δs，于是整个金属曲线地质量近似于M≈ρ(ξ，η)Δs.记λ＝{Δs},令λ0取上式和式的极限，得M＝ρ(ξ，η)Δs.2．第一型曲线积分（对

2、弧长的曲线积分）的定义定义：设L为xoy平面内的曲线弧，是L上的有界函数,把L分成n个小弧段:Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长.记λ＝{Δs},在每个小弧段Δs上任取一点（ξ，η）,作和式Δs,如和式极限Δs存在,且极限值与L的分法和点（ξ，η）在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数ƒ(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分或称为对弧长的线积分,记作,即=Δs称为被积函数,L为积分曲线弧.注1:同前面一样,并非任一个函数在L上的对弧长的曲线积分都是存在的.但若在L上连续,则其积分是存在的.故以后在不作特别说明的情况下,总假定在L上连续.注2

3、:显然物体M的质量为:M=注3:类似地,我们可定义对于空间曲线弧的曲线积分:=注4:若L为闭曲线,则在L上的对弧长的曲线积分记为性质1.若(i=1,2…n)存在,C(i=1,2,…n)为常数,则=性质2:如按段光滑曲线L由曲线L,L,…,L首尾相接而成,且(i=1,2,…n)都存在,则=性质3:若,都存在,且在L上,则性质4:若存在,则也存在,且有性质5:若存在,L的弧长为S,则存在常数C,使得=CS二.第一型曲线积分的计算法我们可应用下列定理将第一型曲线积分转化为定积分来计算:定理:设曲线L的方程为:,,,其中,在上具有连续的一阶导数,为L上的连续函数,则有=证:详细的证明书

4、上有,大家自己看,现在我们从另外一方面来说明这个问题:我们用来表示L上的以为取值区间所对应部分的弧长,则有=.两边求微分,得进而:又当在L上变化时,相应地在上取值,故=.(注:并非严格的证明)注1:若L的方程为,则=若L的方程为,,则=2:若空间曲线的方程为:,,,.则有=3:定理.注1.2中的定积分的上下限,一定满足:下限上限.这是因为,在这里的L(或)是无向曲线弧段,因而单从L的端点看不出上下限究竟是什么.这就要从L(或)的方程的形式来考虑.又>0>0从而当很小时,>0.此时若视为L上某一段弧的弧长,应有>0>0.这说明此时的变化是由小到大的.而这里正是的一般形状,故下限上

5、限.[例1]:设L是半园周:0.计算解:===[例2]:设为球面被平面所截的圆周,计算.解:根据对称性知=====的弧长==第二节第二型曲线积分一.第二型曲线积分的概念与性质这里讲的是曲线积分的另一种形式.假设一质点受力=i+j的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力所做的功W.(这里假设,在L上连续)首先,对有向曲线L作分割:用点M,M,…,M与M=A,M=B将L分成n个小段(i=1,2…n).以表示其弧长.记该分割的细度为λ＝{Δs},当很小时,有向的小弧段可用有向的直线段来代替:=i+j,其中=,=.而,分别为M与M点的坐标.又在上任取一点（ξ

6、，η）.当很小时,由于,在L上连续,故可用在（ξ，η）点处的力=i+j来近似代替上其它各点的力,因此变力在小弧段上所作的功,就近似地等于常力沿所做的功.故有.=+所以W=.且当时,有W=.2.第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义定义:设L是面上从点A到点B的有向光滑曲线,,在L上有界,把L分成n个小弧段Δs，Δs，…，Δs，其中Δs（i=1,2,…n）也表示第i个小弧段的弧长.在Δs(i=1,2,…n)上任取一点（ξ，η）,做和式,其中和是分别在轴和轴上的投影.记λ＝{Δs},如果极限存在,且极限值与L的分法及点（ξ，η）在Δs上的取法无关,则称此极限值为函数,在有向曲线弧

7、L上的第二型曲线积分或对坐标的曲面积分,记作即有:=,其中,称为被积函数,L称为积分曲线弧.同理,当,都在L上连续时,上述积分才存在.故今后总假定,在L上连续注1:完全可以类似地扩到空间曲线上,得2:当L为封闭曲线时,常记为:3:这两类线积分,除了形式上不同之外,还有一关键性区别在于:第一类线积分与L的方向无关,而第二类线积分与L的方向有关.(下见性质2)性质1:若L由有限有向曲线弧组成,例如L=L+L,则=+性质2:设–L是L的反向曲线弧,则=一.第二型曲线积分的计算法同前面一样,我们可以