高数曲线积分和曲面积分

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1、9.3.1对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算19.3.1、对面积的曲面积分1．实例曲面型物件的质量一、对面积的曲面积分的概念与性质曲面型物件占有O-xyz空间中的曲面Σ(Σ光滑或分片光滑),且有连续的面密度为ρ(x,y,z),求曲面型物件的质量。其中λ是n个小曲面块的直径的最大值。2“乘积和式极限”都存在,积的曲面积分记作或第一类曲面积分.若对Σ做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面2、对面积的曲面积分的定义定义9.3.1设曲面Σ是光滑的有限曲面，函数f(x

2、,y,z)在Σ上有界。其中f(x,y,z)叫做被积函数，Σ叫做积分曲面。33、几点说明则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面上连续,(1)积分的存在性:(2)曲面型物件的质量为曲面面积为4具有对弧长曲线积分同样的性质。4、对面积的曲面积分的性质（1）关于被积函数的线性性质（2）关于积分曲面的可加性则有若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面5（3）关于被积函数的不等式性质（4）估值定理（5）积分中值定理5、对称性的应用6定理9.3.1:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分计算方法可概括为

3、“一代、二换、三投影”7（1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影”“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：如Σ：z=z(x,y)，则“三投影”认清Σ在xoy平面上的投影区域Dxy（2）如Σ：x=x(y,z)，此时投影区域Dyz；如Σ：y=y(x,z)，此时投影区域为Dzx。“一代”将z=z(x,y)代入被积函数f(x,y,z)，得f[x,y,z(x,y)]；说明8例1计算曲面积分，其中Σ是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0

4、OΣ9利用极坐标，得10例2计算曲面积分Σ是介于z=0及z=H(H>0)之间的柱面x2+y2=R2HyxzOR解法一：在Σ上有x2+y2=R2，所以又Σ关于平面x=0对称，所以11其中(－R≤y≤R，0≤z≤H)于是12解法二：用垂直于z轴的平面去截ΣdS=2πRdzHyxzOR13解：Dxy：x2+y2≤2ax，例3计算其中Σ：锥面被柱面x2+y2=2ax（a>0）割下的部分因为Σ关于xoz面对称，xy+yz是y的奇函数，所以1415例4.求半径为R的均匀半球壳的质心.解:设的方程为利用对称性可知质心的坐标16曲面型物件占有O-

5、xyz空间中的曲面Σ(Σ光滑或分片光滑),且有连续的面密度为ρ(x,y,z)注:对面积的曲面积分的应用质心17转动惯量18小结本节主要学习了对面积的曲面积分的概念,以及对面积的曲面积分的计算方法。本节要求理解对面积的曲面积分的概念,了解曲面积分的性质,熟练掌握对面积的曲面积分的计算。下节课的内容:对坐标的曲面积分19