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《西工大高数答案解析曲线积分和曲面积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十章曲线积分与曲面积分第一节第一类曲线积分1.设平面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为,用对弧长的曲线积分表示：（1）这曲线弧的长度;（2）这曲线弧的质量;（3）这曲线弧的重心坐标：;;（4）这曲线弧对轴,轴及原点的转动惯量;;.解（1）;（2）;（3）,,（4）,,2.（1）设为椭圆,其周长为,求.（2）设为圆周,求.解（1）：,即,从而===.（2）：,从而====.13.计算,其中是以,,为顶点的三角形.解如图10.1所示,2：,从,图10.1：,从,：,从,.从而=++===.4.计算,其中为曲线.解1的参数方程为：.计算
2、出,于是====8.解2在极坐标系下,:.计算出=,于是===8.5.求空间曲线,,的弧长.解==,从而.6.有一铁丝成半圆形,,,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.解==.====.7.计算,其中为球面与平面的交线.解由于与对,,都具有轮换对称性,故==,==.于是=====.其中为圆周的周长,显然平面过球面的球心,所以为该球面上的大圆,即半径为,故周长为.又因为==0,所以=.第二节第二类曲线积分1.计算,其中为圆周（按逆时针方向绕行）.解:,由0到,从而====.2.计算,其中是抛物线上从点到点的一段弧.解===.3.计
3、算,其中为摆线图10.2,上对应从0到的一段弧（图10.2）.解====.4.计算,其中为上半椭圆,从点到点的一段弧.解由可得,,代入积分式,得===2.5.计算,其中是从点到点的直线段.解的点向式方程为：,从而得参数方程为,,,由0到1.===32.6.计算,其中为有向闭折线,这里的,,依次为点,,.解如图10.3,:,,由0到1.==;:,,由0到1;图10.3==;:,,由0到1;==1,故===.7.有一质量为的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力的作用,设该质点沿螺旋线,,从点移动到点移动到
4、点,求重力与力的合力所作的功.解依据题意,力=,故质点所受的合力在螺旋线上,起点对应于,终点对应于,即.因此,力所作的功===.第三节格林公式1.设平面上闭曲线所围成的闭区域为,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.(1)(a)(2)2(b)(3)(c)2.利用曲线积分计算星形线,所围成图形的面积.图10.4解如图10.4，因为由到.从而=======.3.证明只与的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分.解,,,所以积分与路径无关,故===.或者====.4.计算,其中为从到的正弦曲线.解如图10.5所示,由格林公式=图10.5
5、========.其中======.移项解之,得.注意本题易犯两个错误：（1）==.产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：,其中是的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线是的取负向的边界曲线,所以二重积分前面必须添加负号.（2）计算定积分是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法时,每次选取函数,不注意必须是同类函数（如选三角函数作为就一直选三角函数,如选作为就一直选）,结果就出现了恒等式,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.5.已知连续,且,,,计算其中是以线段为直径的上半圆周.解如图1
6、0.6所示图10.6========.本题需注意两点：（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;（2）因是抽象函数,不可能直接将积出来,请不要先急于积分,先用分布积分法将表示为,则两项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中发现解题技巧.6.证明在右半平面内为某一函数的全微分,并求出一个这样的函数.解,,由于,所以为某一函数的全微分.取定点,对于右半平面上任一点,令=====.7.已知曲线积分,其中为圆周,取逆时针方向,求的值,使得对应曲线积分的值最大
7、.解显然,在区域内有一阶连续的偏导数,由格林公式=========.,令,解得（依题意设，故将和舍去）,因为是在内唯一的驻点,且=,故在处取得最大值,因此,即当积分路径为时,对应曲线积分的值最大.8.求,其中（1）为圆周的正向;（2）为椭圆的正向.解令,,则当时,有,记所围成的闭区域为,（1）:,即,此时,（如图10.7(a)所示）.图10.7(b)图10.7(a)由于,由格林公式,.（2）:,即,此时,以为圆心,以充分小的为半径作圆周,由0到,取逆时针方向（如图10.7(b)所示）.记和所围成的闭区域为,对复连通区域应用格林公式,得,从而=
8、====.注意（2）中由于点位于所围成的闭区域内,需用复连通域上的格林公式,以避开点,考虑到被积函数的分母为,故取圆周,有同学不考虑“洞”,即点,直接用格林公式,得
