一类重积分解法的探讨

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1、第3O卷第4期大学数学Vo1．30，No．42014年8月C0LLEGEMATHEMATICSAug．2014一类重积分解法的探讨龚伟枫，吴洁(1．华中科技大学光学与电子信息学院，湖北武汉430074；2．华中科技大学数学与统计学院，湖北武汉430074)[摘要]从一道考研试题入手，给出了当二重积分的被积函数或积分区域边界含一Y。时的“双曲坐标变换”法．通过实例，对比说明该方法能够解决一类用直角坐标不易计算或不能计算的二重积分问题，并且可以运用到三重积分的计算上．[关键词]重积分；被积函数；积分区域；坐标变换[中圈分类号]O172．2[文献标

2、识码]C[文章编号]1672—1454(2014)04—0108—05在2010年全国硕士生入学统一考试数学三中有如下试题：例1计算二重积分J一Ⅱ(+)。dd，其中

3、D由z一呵，+√—o-~x-45=o围成．解法1区域D如图1所示．，一+3x2y-k-3xy。+。d一2rr(z。+3xyz)dzd(D。为D中>0的部分)2。(+3一一2J。dJ(xy。)dz一—2J。(一yY+2。+}寺)d．)，一14／15．图1解法2令{lzlDs’(1D>o)，则区域D的边界X~--~／叮，+√一0，一一0依次与ID一1，Votant一一／4，￡一7r／

4、4对应，后者构成与D对应的闭区域D，的边界，又：JIstepta眦l：Psecf>o，antDSec。tl从而1J：==J0(sect+tant)。sectdpdtLC,r／4／(sec外tant)3sec蹦J广lD4。=．Jfo(sec4t+3sec2tan)出一号(、tan+÷tan3t)／Ilo===14／15．解法2为我们提供了一种解题思路：当被积函数或积分区域边界含z一Y时，可考虑作变换{【z=psect’(』D>o)，以达到简化运算的目的(如果含yZ～z，则作变换{x=ptant即可，此时v=：=ptant’IY—psectJ：l

5、tamPecI一一IDse)．由于10一n(为常数)表示双曲线，因此不妨称此变换为“双曲坐标变换”．1sectDtantsectI[收稿日期]2013—07—17[基金项目]湖北省高等学校教学研究项目(2011037；2012052)[通讯作者]吴沽第4期龚伟枫，等：一类重积分解法的探讨1O9说明：(i)lD和t，并没有几何意义，它们仅表示关于，Y的某个表达式的值．、，由flD一~／。一Y，，lJ，、lIZ‘P>∞’得{￡一arcsin(+7r)‘当3，Y。，所以“双曲坐标变换”的适用区域如图2所示

6、．注意到lD=口表示一对双曲线(如图3)，t一表饱示一条由原点发眦出的射线(如图4)．／、一／，、图2图3(iii)要使变换有意义同时满足变量代换定理，必须保证￡≠虿7r且≠号7r，即图2中虚线部分是不能取的·但当积分区域的边界含z土—o时，可以用极限方法处理，即詈一士1时，lD—o，￡一±号(如例2、例6)．c=，r／Z。t=，r／2l＼／／=3，r／4＼＼＼∥／t=／4l￡=，r一＼∥‘1一=5zr／4／＼t=一，r=3~r／2，＼t：一，r21＼圈4圈5例2计算二重积分J=Ildacdy，其中D由Y—z，Y=一z，z一1围成(如图5)．

7、解法1利用直角坐标并由对称性，得，=2如珂d一2(詈珂+2172arcsin)f：d引：如一詈．解法2令{I—Pec“(1D>0)，则区域D的边界．)，：z，一一z，一1依次与￡一丌／2，Yptantt一一丌／2，ID—CoSt对应，且J=psect>0，因此J一-fPzsectdp-了2：c。s2tdt一号·丢·号一詈．可见，当被积函数含一Y。，用“双曲坐标变换”避免了复杂的计算过程．例3将说明当被积函数和积分区域同时含有z一Y。项时，采用“双曲坐标变换”的优越性．1l0大学数学第30卷例3计算二重积分J—lldxdy，其中积分区域D同例1

8、．解法1利用双曲坐标变换{l工一c’(1D>0)，则lY—ptant一j’dPsecdp=号』secdt一号·nIsec+tan1：==一in(+1)≈0．5876．解法2利用直角坐标并由对称性，得J一2dx一2』：[专一22卅了]d—l[r一Yln(~／r+1)一+y2ln(+1)y-]dy．由于后面的积分过程比较复杂，积分结果由以下Matlab程序提供．symsY；f—inline(sqrt(1+y．‘2))；i—quad(f，0，1)；fl—inline(Y．‘2．*log(sqrt(1+Y．‘2)+1))il=quad(fl，0，1)

9、；i2一quad(sqrt(2)．Y．‘2，0，1)；f3一inline(Y．2．*log((sqrt(2)+1)．y))i3一quad(f3，0，1)；i0一i—