积分(二重三重积分,第一类曲线曲面积分)的定义和性质

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1、重积分§1.二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念1．对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质．2．设有一质量分布不均匀的半圆弧，其线密度(为常数)，求它对原点(0，0)处质量为的质点的引力．3．计算球面三角形，的围线的重心坐标．设线密度．4．求均匀球壳对轴的转动惯量．5．求均匀球面的重心坐标．6．求密度的截圆锥面对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当时，结果如何？§2.积分的性质1.证明有界闭区域上的连续函数必可积．2.设是可度量的平面图形或空间立体，在上连续，证明：(1)若在上0，且不恒等于0，则；

2、(2)若在的任何部分区域上，有，则在上有．3.设在[a,b]可积，在[c,d]可积，则在矩形区域＝[a,b]×[c,d]上可积，且第7页共7页．1.若在上可积，那么在上是否可积？考察函数在[0,1]×[0,1]上的积分．2.设，证明在上不可积．§1.二重积分的计算1．将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1)由轴与所围成；(2)由及所围成；(3)由和围成；(4)．2.计算下列二重积分：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．3.改变下列累次积分的次序：(1)；第7页共7页(2)；(3)．2.设在所积分的区域上连续，证明．3.计算下列二重积分：(1)(),是

3、由围成的区域；(2)是由和围成的区域；(3)：；(4)：；(5)由所围成；(6)由所围成；(7)是以和为顶点的三角形；(8)由和所围成．4.求下列二重积分：(1)；(2)；(3)．5.改变下列累次积分的次序：(1)；(2)；(3)；(4)．6.求下列立体之体积：第7页共7页(1)由所确定；(2)由所确定；(3)是由坐标平面及所围成的角柱体．2.用极坐标变换将化为累次积分：(1)：半圆；(2)：半环；(3)：圆；(4)：正方形．3.用极坐标变换计算下列二重积分：(1)：；(2)是圆的内部；(3)由双纽线围成；(4)由阿基米德螺线和半射线围成；(5)由对数螺

4、线和半射线围成．4.在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1)若；(2)()，若；(3)，其中＝，若；(4)，其中＝()，若．5.作适当的变量代换，求下列积分：第7页共7页(1)是由围成的区域；(2)由围成；(3)由围成．§3.三重积分的计算1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1)；(2)；(3)球面与圆柱面（）的公共部分；(4)()；(5)；(6)．2.求曲线所围成的面积．3.用柱坐标变换计算下列三重积分：(1)，由曲面围成；(2),由曲面围成．4.用球坐标变换计算下列三重积分：(1)：；(2),由围成；(3)，由围成．5.作适当的

5、变量代换，求下列三重积分：第7页共7页(1)，由围成的立体，其中；(2)，同(1)；(3)，由()，()以及围成；(4)，由围成；(5)．1.求下列各曲面所围立体之体积：(1)；(2)()．2.计算下列三重积分：(1)：；(2)由曲面所围成；(3)由曲面所围成；(4)是由曲面围成的位于第一卦限的有界区域；(5)由曲面所围成；(6)是由及所围成的区域．§4.积分在物理上的应用1．求下列均匀密度的平面薄板的质心：第7页共7页(1)半椭圆；(2)高为，底分别为和的等腰梯形；(3)所界的薄板；(4)所界的薄板．1．求下列密度均匀的物体的质心：(1)；(2)由坐标

6、面及平面所围成的四面体；(3)围成的立体；(4)和平面围成的立体；(5)半球壳．2．求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1)边长为和，且夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量；(2)所围平面图形关于直线的转动惯量．3．求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1)关于轴的转动惯量；(2)长方体关于它的一棱的转动惯量；(3)圆筒，关于轴和轴的转动惯量．4．设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量．5．求均匀薄片对轴上一点(0，0，)(>0)处单位质点的引力．求均匀柱体对于(0，0，)(>)处单位质点的引力．第7页共7页