二重积分定义和性质

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1、二重积分的定义和计算知识准备回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则有如图0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中xi=xi+1xi,表示小区间[xi,xi+1]的长,f(i)xi表示小矩形的面积.有一空间几何体.其底面是xoy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y),我们称为曲顶柱体.我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V=底面积×高，那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？0yzxz=f(x,y)D一、引例(1)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,

2、Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi计算步骤(2)由于Di很小,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)(3)因此,大曲顶柱体的体积分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得"无限细",则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是1.定义设z=f(x,y)是定义在

3、有界闭区域DR2上的有界函数.将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,…,n),其面积记为i.(i,i)Di,作积f(i,i)i,二、二重积分的概念与性质若对任意的分法和任意的取法,当0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)R(D),并称此极限值I为f(x,y)在D上的二重积分.记作即其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d称为面积元素,x,y称为积分变量.和式注1.定积分二重积分区别在将小区

4、间的长度xi换成小区域的面积i,将一元函数f(x)在数轴上点i处的函数值f(i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(i,i)处的函数值f(i,i).可见,二重积分是定积分的推广.注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)则除边界上区域外,Di都是矩形，它的面积为：故也将二重积分写成此时面积元素记为：d=dxdyi=xiyi2.二重积分的几何意义：设x,y在D上可积,则(1)当z=f(x,y)0时,(2)当z=f(x,y)<0时,(3)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上

5、曲顶柱体体积)3.二重积分的性质.设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.性质2.性质3.性质4.直角坐标系下二重积分的计算.由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),则体积三、二重积分的计算xy0axA(x)b如果积分区域D表示为：利用直角坐标系计算二重积分我们称为［X－型］（特殊情况）积分区域D为：［X－型］一般地，---先对y积分，后对x积分的二次积分如果积分区域D为：［Y－型］---先对x积分，后对y积分的二次积分若区域如图，比不是X型也不是Y型，在分割后的

6、三个区域上分别使用积分公式得：则必须分割.例1将化为二次积分。其中D由直线围成。解1：先画出积分区域D，可知D是Y－型。将D向y轴投影。于是，解2：D也是X－型。将D向x轴投影。于是，例2计算其中D由直线围成。解先画出积分区域D，D是X－型。将D向x轴投影。于是，于是，二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］