18.2.1 矩形定义和性质

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1、18.2.1矩形(一)教学目标知识与技能1、掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系.   2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.过程与方法经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理的意识;掌握几何思维方法。并  渗透运动联系、从量变到质变的观点.情感态度与价值观培养严谨的推理能力,以及自主合的精神,体会逻辑推理的思维价值。重点矩形的性质.难点矩形的性质的灵活应用.教学过程备注教学设计与师生互动第一步:课堂引入1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门,活动衣架,篱笆、井架等),想一想:这里面应用了

2、平行四边形的什么性质?2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,观察不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?(动画演示拉动过程如图)3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.【探究】在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线),拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.

3、①随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?②当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时它的其他内角是什么样的角?它的两条对角线的长度有什么关系?操作,思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.第二步:应用举例:例1(教材P104例1)已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm

4、,求矩形对角线的长.分析:因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知,可得△OAB是等边三角形,因此对角线的长度可求.解:∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AC与BD相等且互相平分.∴ OA=OB.又∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8(cm).例2(补充)已知:如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.分析:(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,

5、而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.略解:设AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:,解得x=6.则AD=6cm.(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:AE×DB=AD×AB,解得AE=4.8cm.例3(补充)已知:如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:CE=EF.分析:CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要

6、证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.又AD=AE,∴△ABE≌△DFA(AAS).∴AF=BE.∴EF=EC.此题还可以连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=EC.例2已知:如图3,矩形ABCD中,于E,且。求:的度数。分析:由已知可得。而所求是的一部分,就要研究与其它角的关系。因为OA=OD,所以=。把题目中的已知条件,与矩形的性质结合起来,得到基本图形直角三角形斜边上的高的形

7、式,可以推出,于是得到,求的度数也就显然了。图3解:例3已知:如图4,矩形ABCD的对角线AC、BD交于O,EF过O点交AD于E,交BC于F,且EF=BF,。求证:CF=OF。图4分析:欲证CF=OF,只要,由矩形可知。由,可得到OE=OF,又因为EF=BF,有,由于,于是步,又有,第三步:随堂练习1.(填空)(1)矩形的定义中有两个条件:一是,二是.(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.(3)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分

8、别为cm,cm,cm,cm.2.(选择)(1)下列说法错误的是().(A)矩形的对角线互相平分(B)矩形的对角线相等步为营(C)有一个角是直角的四边形是矩形(D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(2)矩形的对角线把矩形

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