[理学]§101 二重积分的定义与性质

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1、第十章重积分一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分1三、二重积分的性质§10.1二重积分的概念与性质一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算2解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”31)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体44)“取

2、极限”令52.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.62)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:8二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任

3、取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,9引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作10二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.11三、二重积分的性质(k为常数)

4、为D的面积,则12特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有137.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此14例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上15例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D168.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续

5、,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有17例3.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,18四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的19同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算20例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为21内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法22被积函数相同,且非负,思考

6、与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:232.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

7、只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答30练习题313233练习题答案34