CH101二重积分的概念与性质

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1、第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体一、问题的提出曲顶柱体的体积设一立体的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体解法:类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”１．曲顶柱体的体积1)

2、“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令步骤如下：用小平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积VkVkf(kk)k用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体积将分割加细取极限求得曲顶柱体体积的精确值用曲线网把D分成小区域12n“大化小,常代变,近似和,取极限”播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶

3、柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.２．求平面薄片的质量2)“

4、常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素———积分号二重积分的定义积分中各部分的名称f(xy)——被积函数f(xy)d—被积表达式d———面积元素xy———积分变量D————积分区域——积分和iiinifshxD=å),(1对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当

5、被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.性质１当K为常数时，被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质3(对积分区域的可加性)如果闭区域D被有限条曲线分为

6、有限个部分闭区域,则D上的二重积分等于各部分闭区域上二重积分的和.例如D可分为两个闭区域D１和D２，则性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６（二重积分估值不等式）性质７（二重积分中值定理）证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点使因此例1比较下列积分的大小：1）与其中D:0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域D内，显然有故在D内解例3设D是第二象限的一个有界闭域,且0

7、2D例6判断的正负.解：当时，故又当时，于是二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题1将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答思考题2证明:其中D为证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.